Заряд конденсатора в колебательном контуре изменяется по закону  q(t)=0,004cos(400t). Чему равна полная энергия колебательного контура в мкДж, если индуктивность катушки  400 мкГн?

Для решения данной задачи сначала нужно вспомнить, что полная энергия колебательного контура определяется как сумма энергии, хранящейся в конденсаторе и в индуктивности. В колебательном контуре, состоящем из конденсатора и катушки, эта энергия колеблется между двумя компонентами.

1. Энергия в конденсаторе: Энергия \( U_C \) в конденсаторе вычисляется по формуле: \[ U_C = \frac{q^2}{2C} \] где \( q \) — заряд на конденсаторе, а \( C \) — его ёмкость.

2. Максимальный заряд: Согласно данному выражению \( q(t) = 0.004 \cos(400t) \), максимальный заряд \( q_{max} = 0.004 \) Кл.

3. Энергия в индуктивности: Энергия \( U_L \) в катушке рассчитывается по формуле: \[ U_L = \frac{LI^2}{2} \] где \( I \) — ток, который в данном случае можно выразить через заряд как \( I = \frac{dq}{dt} \).

   Для данного заряда: \[ I(t) = \frac{d(0.004 \cos(400t))}{dt} = -0.004 \cdot 400 \sin(400t) = -1.6 \sin(400t) \] Максимальный ток будет равен: \( I_{max} = 1.6 \) A.

4. Индуктивность: \( L = 400 \, \mu H = 400 \times 10^{-6} \, H \).

5. Полная энергия: Теперь можем найти максимальную энергию, используя максимальные значения зарядов и токов. Полная энергия \( U \) в контуре в любой момент времени будет равна: \[ U = U_C + U_L \]

   Однако, для целой энергии колебательного контура, можно использовать только максимальные значения: \[ U = \frac{(0.004)^2}{2C} + \frac{(1.6)^2 \cdot (400 \times 10^{-6})}{2} \]

   Чтобы рассчитать полную энергию, нам нужно определить (или знать) значение С. В колебательном контуре известны \( C, L \) и частота \( \omega \): \[ \omega = \frac{1}{\sqrt{LC}} \implies C = \frac{1}{\omega^2 L} \quad \text{и } \omega = 400 \text{ рад/с} \]

   Подставляем: \[ C = \frac{1}{(400)^2 \cdot (400 \cdot 10^{-6})} = \frac{1}{160000 \cdot 400 \cdot 10^{-6}} \] \[ C = \frac{1}{64 \cdot 10^{-3}} = \frac{1000}{64} \approx 15.625 \, \mu F \]

   Теперь, подставляем с \( C \) и находим полную энергию: \[ U_C = \frac{(0.004)^2}{2 \cdot 15.625 \cdot 10^{-6}} \approx \frac{16 \cdot 10^{-6}}{31.25 \cdot 10^{-6}} \approx 0.512 \, мДж \] \[ U_L = \frac{(1.6)^2 \cdot (400 \times 10^{-6})}{2} = \frac{2.56 \cdot 0.0004}{2} = 0.512 \, мДж \]

Полная энергия колебательного контура: \[ U = U_C + U_L = 0.512 + 0.512 = 1.024 \, мДж \]

Таким образом, полная энергия колебательного контура равна 1.024 мДж или 1024 мкДж.