Nº12 У исполнителя Альфа две команды, которым присвоены номера: 1. прибавь 9; 2. умножь на b (b — неизвестное натуральное число; b ≥ 2). Выполняя первую из них, Альфа увеличивает число на экране на 9, а выполняя вторую, умножает это число на b. Программа для исполнителя Альфа — это последовательность номеров команд. Известно, что программа 21211 переводит число 10 в число 76. Определите значение b.
Давайте проанализируем, что происходит с числом 10, если мы последовательно применим команды согласно программе 21211.
Итак, начнем с числа 10 и будем поочередно применять команды:
Команда 2 (умножь на b): \( 10 \cdot b \)
Команда 1 (прибавь 9): \( 10b + 9 \)
Команда 2 (умножь на b): \( (10b + 9) \cdot b = 10b^2 + 9b \)
Команда 1 (прибавь 9): \( 10b^2 + 9b + 9 \)
Команда 1 (прибавь 9): \( 10b^2 + 9b + 9 + 9 = 10b^2 + 9b + 18 \)
Теперь мы знаем, что результат этих операций равен 76:
\[ 10b^2 + 9b + 18 = 76 \]
Теперь упростим уравнение:
\[ 10b^2 + 9b + 18 - 76 = 0 \] \[ 10b^2 + 9b - 58 = 0 \]
Теперь решим это квадратное уравнение. Используем дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 10 \cdot (-58) = 81 + 2320 = 2401 \]
Корни уравнения находим по формуле:
\[ b = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A} = \frac{-9 \pm \sqrt{2401}}{2 \cdot 10} \] \[ \sqrt{2401} = 49 \]
Таким образом:
\[ b = \frac{-9 + 49}{20} = \frac{40}{20} = 2 \] \[ b = \frac{-9 - 49}{20} = \frac{-58}{20} = -2.9 \quad (\text{неподходящее значение, так как b натуральное}) \]
Итак, единственный натуральный корень:
\[ b = 2 \]
Таким образом, значение \( b \) равно \( 2 \).
