Задача. Заказ на пошив новой коллекции пальто распределили между двумя компаниями в отношении 2:3. Первая компания справилась с работой в 6 раз быстрее, чем вторая. Какую часть от…

Для решения этой задачи начнем с обозначений.

Пусть общий заказ на пошив пальто обозначается за \( S \). Согласно условию, этот заказ распределен между двумя компаниями в отношении 2:3. Таким образом, первая компания получит \( \frac{2}{5}S \), а вторая компания — \( \frac{3}{5}S \).

Теперь обозначим скорость работы первой компании как \( v_1 \) и второй компании как \( v_2 \). Поскольку первая компания справляется с работой в 6 раз быстрее, чем вторая, это можно записать как:

\[ v_1 = 6v_2 \]

Теперь найдем время, необходимое каждой компании для выполнения своей части заказа. Время работы определяется формулой:

\[ t = \frac{S}{v} \]

Для первой компании это будет:

\[ t_1 = \frac{\frac{2}{5}S}{v_1} = \frac{2S}{5v_1} \]

Для второй компании:

\[ t_2 = \frac{\frac{3}{5}S}{v_2} = \frac{3S}{5v_2} \]

Подставим выражение для \( v_1 \) в формулу для \( t_1 \):

\[ t_1 = \frac{2S}{5(6v_2)} = \frac{2S}{30v_2} = \frac{S}{15v_2} \]

Теперь у нас есть:

\[ t_1 = \frac{S}{15v_2}, \quad t_2 = \frac{3S}{5v_2} \]

Для того чтобы обе компании закончили работу одновременно, необходимо приравнять времена:

\[ \frac{S}{15v_2} = \frac{3S}{5v_2} \]

Сократим \( S \) и \( v_2 \) (при условии, что они не нулевые):

\[ \frac{1}{15} = \frac{3}{5} \]

Теперь мы можем решить уравнение. Перемножим обе стороны на \( 15 \times 5 \):

\[ 5 = 45 \]

Такое равенство не имеет смысла, значит, нам нужно было пересмотреть распределение. Компенсировать скорости работы можно, используя пропорции.

Если бы первая компания взяла больше процентов от общего объема, а вторая, соответственно, меньше, то обе компании могли бы закончить одновременно. Распределим заказ так, чтобы обе компании работали одновременно.

Обозначим, что первой компании следует отдать долю \( x \) от общего количества, а второй компании останется \( S - x \).

Применяя ранее введенные скорости, у нас есть:

Для первой компании:

\[ t_1 = \frac{x}{6v_2} \]

Для второй компании:

\[ t_2 = \frac{S - x}{v_2} \]

Приравняем времена:

\[ \frac{x}{6v_2} = \frac{S - x}{v_2} \]

Сократим на \( v_2 \):

\[ \frac{x}{6} = S - x \]

Умножим на 6:

\[ x = 6S - 6x \]

Перекинем \( 6x \) на одну сторону:

\[ x + 6x = 6S \]

Таким образом, \( 7x = 6S \), и тогда:

\[ x = \frac{6S}{7} \]

Следовательно, первой компании следует выдать \( \frac{6}{7} \) от общего заказа. Таким образом, чтобы обе компании закончили работу одновременно, первой компании следует выдать 6/7 от общего заказа по пошиву пальто.