Прямая, параллельная основаниям трапеции A B C D ABCD , пересекает её боковые стороны A B AB и C D CD в точках E E и F F соответственно. Найдите длину отрезка E F EF , если A D =…

Для решения задачи используем свойства трапеции и подобия треугольников.

Пусть длина отрезка \( EF \) равна \( x \). Поскольку прямая \( EF \) параллельна основаниям трапеции \( AB \) и \( CD \), треугольники \( AFE \) и \( CDF \) будут подобны.

Сначала найдем длины отрезков \( CF \) и \( DF \). Мы знаем, что их отношение \( CF:DF = 2:7 \). Это означает, что:

1. \( CF = 2k \)
2. \( DF = 7k \)

где \( k \) — некоторый множитель. Таким образом, длина \( CD \):

\[ CD = CF + DF = 2k + 7k = 9k. \]

Кроме того, известно, что \( CD = 12 \), поэтому можем установить равенство:

\[ 9k = 12 \implies k = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}. \]

Теперь найдем \( CF \) и \( DF \):

\[ CF = 2k = 2 \cdot \frac{4}{3} = \frac{8}{3}, \] \[ DF = 7k = 7 \cdot \frac{4}{3} = \frac{28}{3}. \]

Теперь нам известны длины \( AD \), \( CF \) и \( DF \). Мы можем использовать подобие треугольников для нахождения длины отрезка \( EF \).

Отношение длин отрезков \( EF \) и \( CD \):

\[ \frac{EF}{CD} = \frac{AE}{AD} = \frac{CE}{CF}, \]

где \( AE = AD - DF \):

\[ AE = 48 - \frac{28}{3} = \frac{144}{3} - \frac{28}{3} = \frac{116}{3}. \]

Тогда:

\[ \frac{EF}{12} = \frac{\frac{116}{3}}{48}, \]

Упрощаем правую часть:

\[ \frac{116}{3 \cdot 48} = \frac{116}{144} = \frac{29}{36}. \]

Тогда у нас есть:

\[ EF = 12 \cdot \frac{29}{36}. \]

Теперь вычислим \( EF \):

\[ EF = \frac{348}{36} = \frac{29}{3}. \]

Таким образом, длина отрезка \( EF \):

\[ \boxed{\frac{29}{3}}. \]