Катер, собственная скорость которого 8 км/ч, прошел по реке расстояние, равное 15 км по течению реки и такое же расстояние против течения. Найдите скорость течение реки, если время, затраченное на весь путь, равно 4 ч
Для решения задачи, давайте обозначим скорость течения реки как \( v \) (км/ч). Скорость катера относительно воды составляет 8 км/ч.
Когда катер движется по течению реки, его эффективная скорость будет равна \( 8 + v \) км/ч, а когда против течения - \( 8 - v \) км/ч.
Задано, что катер прошел 15 км по течению и 15 км против течения, а общее время в пути составило 4 часа.
Для нахождения времени в пути по течению, мы можем использовать формулу:
\[ t_1 = \frac{15}{8 + v} \]
А для времени против течения:
\[ t_2 = \frac{15}{8 - v} \]
Общее время:
\[ t_1 + t_2 = 4 \]
Подставим выражения для \( t_1 \) и \( t_2 \):
\[ \frac{15}{8 + v} + \frac{15}{8 - v} = 4 \]
Теперь упростим это уравнение. Умножим обе стороны на \( (8 + v)(8 - v) \) (чтобы избавиться от дробей):
\[ 15(8 - v) + 15(8 + v) = 4(8^2 - v^2) \]
Раскроем скобки:
\[ 120 - 15v + 120 + 15v = 4(64 - v^2) \]
Сложим подобные:
\[ 240 = 256 - 4v^2 \]
Переносим все в одну сторону:
\[ 4v^2 = 256 - 240 \] \[ 4v^2 = 16 \]
Теперь делим обе стороны на 4:
\[ v^2 = 4 \]
И, взяв квадратный корень, получаем:
\[ v = 2 \text{ км/ч} \]
Таким образом, скорость течения реки составляет 2 км/ч.
