В ящике стола у Кирилла лежат 13 гелевых ручек и 16 шариковых. Мальчик наугад достаёт из ящика ручки до тех пор, пока не вытянет гелевую. Какова вероятность, что гелевая ручка будет вытянута третьей по счёту? (Ответ округли до сотых. Промежуточные вычисления выполняй в обыкновенных дробях.)
Давайте решим задачу по шагам.
Кирилл имеет в ящике 13 гелевых ручек и 16 шариковых. Всего у него в ящике 13 + 16 = 29 ручек. Мы ищем вероятность того, что гелевая ручка будет вытянута третьей по счёту.
Событие, которое нас интересует, — это последовательность того, что в первых двух вытянутых ручках будут только шариковые, а третьей будет гелевая.
Вероятность того, что первая ручка будет шариковой: \[ P_1 = \frac{16}{29} \]
Вероятность того, что вторая ручка также будет шариковой (при условии, что первая уже была шариковой): \[ P_2 = \frac{15}{28} \] (Поскольку после извлечения первой шариковой ручки в ящике осталось 15 шариковых и всего 28 ручек.)
Вероятность того, что третья ручка будет гелевой (при условии, что первые две были шариковыми): \[ P_3 = \frac{13}{27} \] (После извлечения двух шариковых ручек в ящике останется 13 гелевых и 27 ручек всего.)
Теперь умножим все три вероятности, чтобы найти общую вероятность того, что гелевая ручка будет третьей: \[ P = P_1 \cdot P_2 \cdot P_3 = \frac{16}{29} \cdot \frac{15}{28} \cdot \frac{13}{27} \]
Посчитаем это: \[ P = \frac{16 \cdot 15 \cdot 13}{29 \cdot 28 \cdot 27} \]
Теперь выполняем вычисления:
Числитель: \[ 16 \cdot 15 = 240 \] \[ 240 \cdot 13 = 3120 \]
Знаменатель: \[ 29 \cdot 28 = 812 \] \[ 812 \cdot 27 = 21924 \]
Таким образом, вероятность равна: \[ P = \frac{3120}{21924} \]
Теперь упростим дробь. Находим НОД 3120 и 21924, что даст 12: \[ P = \frac{3120 \div 12}{21924 \div 12} = \frac{260}{1827} \]
Теперь можно округлить результат до сотых. Для этого преобразуем дробь в десятичную: \[ \frac{260}{1827} \approx 0.1422 \]
Округляем до сотых: \[ P \approx 0.14 \]
Таким образом, вероятность того, что гелевая ручка будет вытянута третьей по счёту, составляет примерно 0.14.
