Сформулируйте и докажите второй признак равенства треугольников

Второй признак равенства треугольников гласит: Если две стороны и угол между ними в одном треугольнике равны соответственно двум сторонам и углу между ними в другом треугольнике, то эти треугольники равны.

Доказательство:

Пусть даны два треугольника ABC и DEF, у которых AB = DE, AC = DF и между этими сторонами лежит равный угол ∠A = ∠D.

Так как AB = DE, AC = DF и ∠A = ∠D, по второму признаку подобия треугольников, треугольники ABC и DEF подобны.

Теперь докажем, что эти треугольники равны.

По условию, AB = DE, AC = DF и ∠A = ∠D.

Соединим точки B и F линией.

Рассмотрим два треугольника ABF и DEF.

AB = DE (по условию) ∠A = ∠D (по условию)

Третье условие: AC = DF, необходимо доказать.

Пусть AC ≠ DF. Тогда возможны два случая:

Случай 1: AC > DF. В этом случае проведем точку C' на прямой BC за точкой C так, чтобы BC' = DF. Так как AB = DE, ∠A = ∠D и BC' = DF, по третьему признаку равенства треугольников BC'A и DFE, он получается AB = DE, AC' = DF и ∠A = ∠D. То есть треугольники ABC' и DEF равны. Но тогда треугольники ABC и DEF также равны, так как треугольник BC'A является частью треугольника ABC.

Случай 2: AC < DF. Аналогичным образом проведем точку D' на прямой DE за точкой D так, чтобы ED' = AC. Так как AB = DE, ∠A = ∠D и ED' = AC, по третьему признаку равенства треугольников ABF и D'E'F, он получается AB = DE, AF = D'F и ∠A = ∠D. То есть треугольники ABF и D'E'F равны. Но тогда треугольники ABC и DEF также равны, так как треугольник ABF является частью треугольника ABC.

В обоих случаях мы пришли к противоречию, что предположение AC ≠ DF неверно. Следовательно, AC = DF.

Итак, мы доказали, что AB = DE, AC = DF и ∠A = ∠D, треугольники ABC и DEF равны.

Таким образом, второй признак равенства треугольников доказан.