Решите неравенство 4^x-5*2^xбольше либо равно 24

Давайте решим неравенство \( 4^x - 5 \cdot 2^x \geq 24 \).

Сначала заметим, что \( 4^x \) можно выразить через \( 2^x \): \[ 4^x = (2^2)^x = (2^x)^2. \] Обозначим \( y = 2^x \). Тогда неравенство примет вид: \[ y^2 - 5y - 24 \geq 0. \]

Теперь решим квадратное уравнение \( y^2 - 5y - 24 = 0 \) с помощью формулы корней: \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \] где \( a = 1, b = -5, c = -24 \).

Подставим значения: \[ y = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24)}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 96}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{121}}{2} = \frac{5 \pm 11}{2}. \] Таким образом, получаем два значения: \[ y_1 = \frac{16}{2} = 8 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{-6}{2} = -3. \]

Так как \( y = 2^x \), а оно всегда положительное, мы рассматриваем только \( y_1 = 8 \).

Теперь необходимо выяснить, при каких значениях \( y \) неравенство \( y^2 - 5y - 24 \geq 0 \) выполняется. Парабола, соответствующая квадратному уравнению, открыта вверх (коэффициент при \( y^2 \) положителен). Значит, неравенство выполняется вне интервала между корнями.

Парабола пересекает ось \( y \) в точках \( y_1 = 8 \) и \( y_2 = -3 \). Поскольку нас интересует только положительное значение, выясняем: \[ y \leq -3 \quad \text{(неактуально)} \quad \text{или} \quad y \geq 8. \] Тогда, получаем: \[ 2^x \geq 8. \] Записав \( 8 \) в виде степени двойки, получаем: \[ 2^x \geq 2^3. \] Следовательно, \( x \geq 3 \).

Итак, решение неравенства: \[ x \geq 3. \]