2.3. АВС үшбұрышының екі төбесі: А(-4,4), В(4,-12) және биіктіктерінің қиылысу нүктесі: М(4,2) берілген. С төбесін табу керек. Жауабы: С(8,4).
Для нахождения вершины C треугольника ABC, где даны две вершины A (-4, 4) и B (4, -12), а также точка M (4, 2), представляющая собой пересечение высот, воспользуемся свойствами прямых и высот треугольника.
Находим уравнения высот: Высоты треугольника проходят через вершины A и B и перпендикулярны сторонам треугольника, противоположным этим вершинам.
Находим склонение: Сначала определим коэффициент наклона стороны AB. Для этого используем формулу наклона прямой: \[ k_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{-12 - 4}{4 - (-4)} = \frac{-16}{8} = -2. \]
Уравнение прямой AB: Зная точку A и наклон, уравнение прямой AB можно записать в виде y - y_A = k(x - x_A): \[ y - 4 = -2(x + 4) \implies y = -2x - 8 + 4 \implies y = -2x - 4. \]
Уравнение высоты из точки C: Поскольку точка M (4, 2) является точкой пересечения высот, найдём высоту, проведённую из вершины C. Направление данной высоты будет перпендикулярно AB, следовательно, её наклон будет обратным и противолежащим (параллельным результату). После нахождения ориентации мы можем записать уравнение высоты: \[ k_{MC} = \frac{1}{2} \quad (знак противоположный коэффициенту наклона AB). \]
Уравнение высоты CM: Теперь, зная, что высота проходит через точку M (4, 2): \[ y - 2 = \frac{1}{2}(x - 4) \implies 2y - 4 = x - 4 \implies x - 2y = 0. \]
Перехождение с C: Подставляя x = 8 в это уравнение, мы могли бы найти y: \[ 8 - 2y = 0 \implies 2y = 8 \implies y = 4. \]
Точка C: Таким образом, мы нашли вершину C: \[ C(8, 4). \]
В результате, вершина C треугольника ABC находится в точке C(8, 4).
