. Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя один час, когда одному из них оставалось 1 км до окончания первого круга, ему сообщили, что второй бегун прошёл первый круг 15 минут назад. Найдите скорость первого бегуна, если известно, что она на 6 км/ч меньше скорости второго.
Давайте разберёмся с этой задачей шаг за шагом.
Обозначим скорость первого бегуна как \(v_1\) км/ч и скорость второго бегуна как \(v_2\) км/ч. Согласно условию задачи, мы знаем, что:
\[ v_1 = v_2 - 6 \]
Теперь рассмотрим информацию о пробежках бегунов. Через 1 час первый бегун находится в 1 км от завершения первого круга, значит, он пробежал \(d_1 = L - 1\) км за 1 час, где \(L\) — длина круга. Таким образом, его скорость можно записать как:
\[ v_1 = L - 1 \quad \text{(время - 1 час)} \]
Теперь рассмотрим второго бегуна. Он завершил первый круг на 15 минут раньше первого бегуна. Это означает, что он пробежал круг за 45 минут (1 час - 15 минут). Время, за которое второй бегун пробежал полный круг, можно записать как:
\[ t_2 = \frac{L}{v_2} = \frac{3}{4} \text{ часа} \quad \text{(45 минут)} \]
Теперь мы можем выразить \(L\) через скорость второго бегуна:
\[ L = v_2 \cdot t_2 = v_2 \cdot \frac{3}{4} \]
Подставим \(L\) в уравнение скорости первого бегуна:
\[ v_1 = L - 1 = \frac{3}{4} v_2 - 1 \]
Теперь у нас есть два уравнения для скорости первого бегуна:
- \(v_1 = L - 1\)
- \(v_1 = v_2 - 6\)
Приравняем эти два уравнения:
\[ L - 1 = v_2 - 6 \]
Подставим \(L = \frac{3}{4} v_2\):
\[ \frac{3}{4}v_2 - 1 = v_2 - 6 \]
Теперь решим это уравнение:
- Переносим \(v_2\) влево:
\[ \frac{3}{4}v_2 - v_2 = -6 + 1 \] \[ -\frac{1}{4}v_2 = -5 \]
- Умножим обе стороны на -4:
\[ v_2 = 20 \text{ км/ч} \]
Теперь подставим значение \(v_2\) в уравнение для \(v_1\):
\[ v_1 = v_2 - 6 = 20 - 6 = 14 \text{ км/ч} \]
Таким образом, скорость первого бегуна составляет 14 км/ч.
