22. Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя один час, когда одному из них оставалось 1 км до окончания первого круга, ему сообщили, что второй бегун прошёл первый круг 15 минут назад. Найдите скорость первого бегуна, если известно, что она на 6 км/ч меньше скорости второго.
Для решения задачи нам нужно определить скорости двух бегунов и соотношение между ними.
Обозначим скорость первого бегуна как \( v_1 \) км/ч, а скорость второго бегуна как \( v_2 \) км/ч. Из условия задачи нам известно, что:
- \( v_1 = v_2 - 6 \) (первый бегун на 6 км/ч медленнее второго).
- Второй бегун прошёл первый круг за 15 минут до момента, когда первому бегуну оставалось 1 км до окончания первого круга.
Принимаем, что длина одного круга трассы равна \( L \) км.
Так как второму бегуну понадобилось 15 минут (или \(\frac{15}{60} = 0,25\) часа) на то, чтобы завершить 1 круг, то можем записать:
\[ L = v_2 \cdot 0,25 \]
Сначала определим, сколько времени потребовалось первому бегуну, чтобы пройти до точки, где ему осталось 1 км:
Пусть время, которое пробежал первый бегун, равняется 1 час. Он пробежал \( L - 1 \) км за это время, следовательно:
\[ L - 1 = v_1 \cdot 1 \]
Теперь мы можем выразить \( L \):
\[ L = v_1 + 1 \]
Теперь у нас есть две формулы для \( L \):
- \( L = v_2 \cdot 0,25 \)
- \( L = v_1 + 1 \)
Подставим \( v_1 = v_2 - 6 \) во вторую формулу:
\[ L = (v_2 - 6) + 1 = v_2 - 5 \]
Теперь у нас есть два уравнения для \( L \):
\[ v_2 \cdot 0,25 = v_2 - 5 \]
Умножим всё на 4, чтобы избавиться от дроби:
\[ v_2 = 4(v_2 - 5) \]
Раскроем скобки:
\[ v_2 = 4v_2 - 20 \]
Переносим все термины с \( v_2 \) в одну часть:
\[ 20 = 4v_2 - v_2 \] \[ 20 = 3v_2 \]
Теперь найдем \( v_2 \):
\[ v_2 = \frac{20}{3} \approx 6.67 \text{ км/ч} \]
Теперь, подставляя это значение в формулу для \( v_1 \):
\[ v_1 = v_2 - 6 = \frac{20}{3} - 6 = \frac{20}{3} - \frac{18}{3} = \frac{2}{3} \text{ км/ч} \]
Таким образом, скорость первого бегуна составляет \( \frac{2}{3} \) км/ч, что эквивалентно примерно 0.67 км/ч.
Ответ: скорость первого бегуна составляет \( \frac{2}{3} \) км/ч.
