2.6. Төбелері А(3,6), B(5,2), C(-1,-3), D(-5,5) нүктелері болатын ABCD төртбұрышы, трапеция болатынын дәлелдеу керек.

Чтобы доказать, что четырехугольник ABCD с вершинами A(3,6), B(5,2), C(-1,-3) и D(-5,5) является трапецией, необходимо показать, что хотя бы одна пара его противоположных сторон параллельна.

Для этого начнем с нахождения угловых координат векторов, описывающих стороны четырехугольника.

1. Сначала найдем угловые координаты векторов AB, BC, CD и DA:

• Вектор AB: \[ AB = B - A = (5 - 3, 2 - 6) = (2, -4) \]

• Вектор BC: \[ BC = C - B = (-1 - 5, -3 - 2) = (-6, -5) \]

• Вектор CD: \[ CD = D - C = (-5 + 1, 5 + 3) = (-4, 8) \]

• Вектор DA: \[ DA = A - D = (3 + 5, 6 - 5) = (8, 1) \]

2. Теперь найдем угловые коэффициенты (наклоны) этих векторов, чтобы проверить, есть ли среди них пара параллельных.

Формула для нахождения углового коэффициента \( k \) вектора (x, y) такова: \[ k = \frac{y}{x} \]

• Угловой коэффициент AB: \[ k_{AB} = \frac{-4}{2} = -2 \]

• Угловой коэффициент CD: \[ k_{CD} = \frac{8}{-4} = -2 \]

• Угловой коэффициент BC: \[ k_{BC} = \frac{-5}{-6} = \frac{5}{6} \]

• Угловой коэффициент DA: \[ k_{DA} = \frac{1}{8} \]

3. Сравним угловые коэффициенты:

Мы видим, что \( k_{AB} = k_{CD} = -2 \). Это означает, что стороны AB и CD параллельны.

Так как одна пара противоположных сторон (AB и CD) параллельна, можно заключить, что четырехугольник ABCD является трапецией.

В итоге, мы доказали, что ABCD - это трапеция.