Дано: А(2 ; - 4), В(-2;-6), С(0 ;7). Найти: а) координаты вектора ВС; б) длину вектора АВ; в) координаты середины отрезка АС; г) периметр треугольника АВС; д) длину медианы ВМ.…

Давайте решим поставленные задачи шаг за шагом.

Вариант 1: А(2; -4), В(-2; -6), С(0; 7).

а) Координаты вектора BC:

Вектор BC можно найти, вычитая координаты точки B из координат точки C: \[ \vec{BC} = C - B = (0 - (-2), 7 - (-6)) = (2, 13) \]

б) Длина вектора AB:

Длина вектора AB можно найти по формуле: \[ AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} = \sqrt{(-2 - 2)^2 + (-6 - (-4))^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \]

в) Координаты середины отрезка AC:

Координаты середины отрезка можно найти по формуле: \[ M_{AC} = \left( \frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2} \right) = \left( \frac{2 + 0}{2}, \frac{-4 + 7}{2} \right) = \left( 1, \frac{3}{2} \right) \]

г) Периметр треугольника ABC:

Периметр треугольника равен сумме длин всех сторон. Сначала найдем длины сторон:

1. \( AB = 2\sqrt{5} \) (как нашли выше).
2. Длина BC: \[ BC = \sqrt{(0 - (-2))^2 + (7 - (-6))^2} = \sqrt{(2)^2 + (13)^2} = \sqrt{4 + 169} = \sqrt{173} \]
3. Длина AC: \[ AC = \sqrt{(0 - 2)^2 + (7 - (-4))^2} = \sqrt{(-2)^2 + (11)^2} = \sqrt{4 + 121} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5} \]

Теперь складываем: \[ P = AB + BC + AC = 2\sqrt{5} + \sqrt{173} + 5\sqrt{5} = 7\sqrt{5} + \sqrt{173} \]

д) Длина медианы BM:

Сначала найдем координаты точки M, середины отрезка AC:

• Мы уже нашли, что \( M_{AC} = (1, \frac{3}{2}) \).

Теперь найдем длину медианы BM: \[ BM = \sqrt{(x_M - x_B)^2 + (y_M - y_B)^2} = \sqrt{(1 - (-2))^2 + \left(\frac{3}{2} - (-6)\right)^2} = \sqrt{(3)^2 + \left(\frac{3}{2} + 6\right)^2} \] \[ = \sqrt{9 + \left(\frac{3 + 12}{2}\right)^2} = \sqrt{9 + \left(\frac{15}{2}\right)^2} = \sqrt{9 + \frac{225}{4}} = \sqrt{\frac{36}{4} + \frac{225}{4}} = \sqrt{\frac{261}{4}} = \frac{\sqrt{261}}{2} \]

Вариант 2: А(4; -5), В(-8; -6), С(5; 9).

а) Координаты вектора AC:

\[ \vec{AC} = C - A = (5 - 4, 9 - (-5)) = (1, 14) \]

б) Длина вектора BC:

\[ BC = \sqrt{(5 - (-8))^2 + (9 - (-6))^2} = \sqrt{(13)^2 + (15)^2} = \sqrt{169 + 225} = \sqrt{394} \]

в) Координаты середины отрезка AB:

\[ M_{AB} = \left( \frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2} \right) = \left( \frac{4 + (-8)}{2}, \frac{-5 + (-6)}{2} \right) = \left( \frac{-4}{2}, \frac{-11}{2} \right) = (-2, -\frac{11}{2}) \]

г) Периметр треугольника ABC:

Сначала найдем длины сторон:

1. Длина AB: \[ AB = \sqrt{(-8 - 4)^2 + (-6 - (-5))^2} = \sqrt{(-12)^2 + (-1)^2} = \sqrt{144 + 1} = \sqrt{145} \]
2. Длина AC (как ранее): \[ AC = \sqrt{(5 - 4)^2 + (9 - (-5))^2} = \sqrt{(1)^2 + (14)^2} = \sqrt{1 + 196} = \sqrt{197} \]
3. Длина BC (как ранее): \[ BC = \sqrt{394} \]

Теперь складываем: \[ P_{ABC} = AB + BC + AC = \sqrt{145} + \sqrt{394} + \sqrt{197} \]

д) Длина медианы CM:

Сначала найдем координаты точки M, середины отрезка AB:

• Мы нашли \( M_{AB} = (-2, -\frac{11}{2}) \).

Теперь найдем длину медианы CM: \[ CM = \sqrt{(x_M - x_C)^2 + (y_M - y_C)^2} = \sqrt{(-2 - 5)^2 + \left(-\frac{11}{2} - 9\right)^2} \] \[ = \sqrt{(-7)^2 + \left(-\frac{11}{2} - \frac{18}{2}\right)^2} = \sqrt{49 + \left(-\frac{29}{2}\right)^2} = \sqrt{49 + \frac{841}{4}} \] \[ = \sqrt{\frac{196}{4} + \frac{841}{4}} = \sqrt{\frac{1037}{4}} = \frac{\sqrt{1037}}{2} \]

Если вам нужны дополнительные пояснения или помощь с другими заданиями, всегда рад помочь!