Дана правильная четырёхугольная пирамида KABCD, все рёбра которой равны 2 ед. изм. На рёбрах КС и KD соответственно находятся серединные точки Ми№. Определи косинус угла а между прямыми AN и DM. (Ответ запиши в виде сокращённой дроби.)

Для решения данной задачи давайте сначала проанализируем правильную четырёхугольную пирамиду KABCD с равными рёбрами длиной 2 единицы.

1. Положение вершин пирамиды:

   • Пусть K — вершина пирамиды, а A, B, C, D — её основания. Мы можем задать координаты вершин в следующем виде:
     • K (0, 0, h),
     • A (1, 1, 0),
     • B (1, -1, 0),
     • C (-1, -1, 0),
     • D (-1, 1, 0), где h — высота пирамиды.

2. Выражение для высоты h: Поскольку все рёбра равны 2 единицам, используя теорему Пифагора для треугольника KAB, можем написать: \[ KA^2 = h^2 + (AB/2)^2. \] Длина стороны основания AB равна 2, следовательно, AB/2 = 1. Получаем: \[ 2^2 = h^2 + 1^2 \implies 4 = h^2 + 1 \implies h^2 = 3 \implies h = \sqrt{3}. \] Таким образом, координаты вершин окажутся следующими:

   • K (0, 0, \(\sqrt{3}\)),
   • A (1, 1, 0),
   • B (1, -1, 0),
   • C (-1, -1, 0),
   • D (-1, 1, 0).

3. Определение серединных точек М и N:

   • Средняя точка M на ребре KS: \[ M = \left(0, 0, \frac{0 + \sqrt{3}}{2}\right) = \left(0, 0, \frac{\sqrt{3}}{2}\right). \]
   • Средняя точка N на ребре KD: \[ N = \left(-1, 1, \frac{0 + \sqrt{3}}{2}\right) = \left(-1, 1, \frac{\sqrt{3}}{2}\right). \]

4. Векторы AN и DM:

   • Вектор AN: \[ \overrightarrow{AN} = N - A = \left(-1 - 1, 1 - 1, \frac{\sqrt{3}}{2} - 0\right) = \left(-2, 0, \frac{\sqrt{3}}{2}\right). \]
   • Вектор DM: \[ \overrightarrow{DM} = M - D = \left(0 - (-1), 0 - 1, \frac{\sqrt{3}}{2} - 0\right) = \left(1, -1, \frac{\sqrt{3}}{2}\right). \]

5. Нахождение косинуса угла между векторами AN и DM: Косинус угла между двумя векторами можно найти по формуле: \[ \cos \alpha = \frac{\overrightarrow{AN} \cdot \overrightarrow{DM}}{|\overrightarrow{AN}| |\overrightarrow{DM}|}, \] где \(\overrightarrow{AN} \cdot \overrightarrow{DM}\) — скалярное произведение векторов, а \(|\overrightarrow{AN}|\) и \(|\overrightarrow{DM}|\) — их длины.

   • Скалярное произведение: \[ \overrightarrow{AN} \cdot \overrightarrow{DM} = (-2) \cdot 1 + 0 \cdot (-1) + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -2 + 0 + \frac{3}{4} = -2 + 0.75 = -1.25. \]
   • Длина векторов: \[ |\overrightarrow{AN}| = \sqrt{(-2)^2 + 0^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{4 + 0 + \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{16}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{19}{4}} = \frac{\sqrt{19}}{2}, \] \[ |\overrightarrow{DM}| = \sqrt{(1)^2 + (-1)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{1 + 1 + \frac{3}{4}} = \sqrt{2 + \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{8}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{11}{4}} = \frac{\sqrt{11}}{2}. \]

   Подставив значения, получаем: \[ \cos \alpha = \frac{-1.25}{\left(\frac{\sqrt{19}}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{11}}{2}\right)} = \frac{-1.25}{\frac{\sqrt{209}}{4}} = \frac{-1.25 \cdot 4}{\sqrt{209}} = \frac{-5}{\sqrt{209}}. \]

   Приведём к стандартному виду: \[ \cos \alpha = \frac{-5}{\sqrt{209}}. \]

   В виде сокращённой дроби: \[ \cos \alpha = \frac{-5 \sqrt{209}}{209}. \]

Таким образом, косинус угла \( \alpha \) между прямыми \( AN \) и \( DM \) равен \( \frac{-5}{\sqrt{209}} \).