Два юноши и две девушки тянут жребий -четыре спички две из которых короткие и две длинные. Расмотрим случайные события. А=хотя бы одна короткая спичка досталась девушке В=среди тех, кто вытинул короткую спичку ровно один юноша. а) Сформулируйте словами событие А пересечениеВ б) Найдите вероятность событий А и А пересечение В

Рассмотрим задачу, в которой участвуют два юноши (обозначим их как Ю1 и Ю2) и две девушки (Д1 и Д2), а также четыре спички: две короткие (К1 и К2) и две длинные (Д1 и Д2).

а) Сформулируйте словами событие \(A \cap B\)

Событие \(A\): хотя бы одна короткая спичка досталась девушке.

Событие \(B\): среди тех, кто вытянул короткую спичку, ровно один юноша.

Событие \(A \cap B\) (пересечение событий \(A\) и \(B\)) можно сформулировать так: хотя бы одна короткая спичка досталась девушке, и среди тех, кто вытянул короткую спичку, ровно один юноша.

б) Найдите вероятность событий \(A\) и \(A \cap B\)

Для того чтобы найти вероятности событий, давайте рассмотрим все возможные варианты распределения спичек между юношами и девушками.

Общее количество исходов

Каждый из четырех участников может получить одну из четырех спичек, всего имеется \(4!\) (факториал 4) или 24 возможных распределения спичек.

Вероятность события \(A\) (хотя бы одна короткая спичка досталась девушке)

Теперь найдем количество случаев, когда хотя бы одна короткая спичка досталась девушке.

1. Рассмотрим противоположное событие (девушки не получают короткие спички). В этом случае обе короткие спички достаются юношам. Это можно сделать следующим образом:
   • Юноши могут вытянуть короткие спички: Ю1 получает К1, Ю2 получает К2; или Ю1 получает К2, Ю2 получает К1. Это дает \(2\) варианта.
   • Длинные спички могут быть распределены между двумя девушками любым образом: Д1 может получить Д1 или Д2, и Д2 соответственно. Это дает \(2\) варианта.
   • Таким образом, всего \(2 \times 2 = 4\) способа, когда девушки не получают короткие спички.

Итак, общее количество благоприятных исходов для события \(A\) можно найти следующим образом: \[ \text{Количество благоприятных исходов для } A = 24 - 4 = 20 \] Следовательно, вероятность события \(A\): \[ P(A) = \frac{20}{24} = \frac{5}{6} \]

Вероятность события \(A \cap B\) (хотя бы одна короткая спичка досталась девушке и среди тех, кто вытянул короткую спичку, ровно один юноша)

Чтобы найти количество благоприятных исходов для события \(A \cap B\), давайте рассмотрим случаи, когда одна короткая спичка принадлежит юноше, а другая — девушке.

1. Возможные случаи:
   • Юноша Ю1 получил короткую спичку К1, и девушка Д1 получила короткую спичку К2.
   • Юноша Ю1 получил короткую спичку К1, и девушка Д2 получила короткую спичку К2.
   • Юноша Ю2 получил короткую спичку К1, и девушка Д1 получила короткую спичку К2.
   • Юноша Ю2 получил короткую спичку К1, и девушка Д2 получила короткую спичку К2.

Таким образом, всего 4 случая, где один юноша и одна девушка получают короткую спичку.

Теперь, после того как короткие спички распределены (одна девушка и один юноша), две длинные спички могут быть распределены среди двух оставшихся (девушки и юноши). Это возможно только двумя способами (каждая девушка может получить длинную спичку).

Итак, количество благоприятных случаев для события \(A \cap B\) составляет: \[ \text{Количество благоприятных исходов для } A \cap B = 4 \times 2 = 8 \] Следовательно, вероятность события \(A \cap B\): \[ P(A \cap B) = \frac{8}{24} = \frac{1}{3} \]

Итог

• Вероятность события \(A\): \(P(A) = \frac{5}{6}\)
• Вероятность события \(A \cap B\): \(P(A \cap B) = \frac{1}{3}\)