реши пример y = x²-11x-2×|x-5|+30 без построения графика
Чтобы решить уравнение \( y = x^2 - 11x - 2|x - 5| + 30 \) без построения графика, начнем с того, что выражение включает модуль, поэтому необходимо рассмотреть два случая в зависимости от значения \( x \).
Случай 1: Когда \( x - 5 \geq 0 \) (то есть \( x \geq 5 \)). В этом случае \( |x - 5| = x - 5 \).
Подставим это в уравнение:
\[ y = x^2 - 11x - 2(x - 5) + 30 \] \[ y = x^2 - 11x - 2x + 10 + 30 \] \[ y = x^2 - 13x + 40 \]
Теперь можно найти корни этого квадратного уравнения. Используем формулу для корней квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \):
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Здесь \( a = 1 \), \( b = -13 \), \( c = 40 \):
\[ b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 40 = 169 - 160 = 9 \]
Теперь находим корни:
\[ x = \frac{13 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{13 \pm 3}{2} \] \[ x_1 = \frac{16}{2} = 8, \quad x_2 = \frac{10}{2} = 5 \]
Случай 2: Когда \( x - 5 < 0 \) (то есть \( x < 5 \)). В этом случае \( |x - 5| = -(x - 5) = 5 - x \).
Подставим это в уравнение:
\[ y = x^2 - 11x - 2(5 - x) + 30 \] \[ y = x^2 - 11x - 10 + 2x + 30 \] \[ y = x^2 - 9x + 20 \]
Опять же, найдем корни этого квадратного уравнения:
\[ b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 81 - 80 = 1 \]
Теперь находим корни:
\[ x = \frac{9 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{9 \pm 1}{2} \] \[ x_1 = \frac{10}{2} = 5, \quad x_2 = \frac{8}{2} = 4 \]
Теперь у нас есть корни уравнения для обоих случаев:
- Для \( x \geq 5 \): корни \( x = 5 \) и \( x = 8 \).
- Для \( x < 5 \): корень \( x = 4 \).
Итак, основные корни данного уравнения: \( x = 4, 5, 8 \).
Обратите внимание, что эти корни указывают на значения \( x \), при которых \( y = 0 \). Вы также можете проанализировать промежутки между корнями, чтобы выяснить, где \( y \) принимает положительные и отрицательные значения.
