Найдите значение параметра a,при котором уравнение |2x+a-1|=x-2a-3 имеет одно решение

Чтобы найти значение параметра \( a \), при котором уравнение \( |2x + a - 1| = x - 2a - 3 \) имеет одно решение, рассмотрим два случая в зависимости от выражения под модулем.

Случай 1: \( 2x + a - 1 \geq 0 \)

В этом случае модуль раскрывается без изменений: \[ 2x + a - 1 = x - 2a - 3 \]

Упростим уравнение: \[ 2x - x + a - 1 + 2a + 3 = 0 \] \[ x + 3a + 2 = 0 \] \[ x = -3a - 2 \]

Для того чтобы это уравнение имело одно решение, необходимо, чтобы \( -3a - 2 \) удовлетворяло условию \( 2(-3a - 2) + a - 1 \geq 0 \): \[ -6a - 4 + a - 1 \geq 0 \] \[ -5a - 5 \geq 0 \] \[ a \leq -1 \]

Случай 2: \( 2x + a - 1 < 0 \)

В этом случае модуль раскрывается со знаком минус: \[ -(2x + a - 1) = x - 2a - 3 \] \[ -2x - a + 1 = x - 2a - 3 \]

Упростим уравнение: \[ -2x - x - a + 1 + 2a + 3 = 0 \] \[ -3x + a + 4 = 0 \] \[ 3x = a + 4 \] \[ x = \frac{a + 4}{3} \]

Теперь проверим, чтобы это значение удовлетворяло условию \( 2\left(\frac{a + 4}{3}\right) + a - 1 < 0 \): \[ \frac{2(a + 4)}{3} + a - 1 < 0 \] \[ \frac{2a + 8 + 3a - 3}{3} < 0 \] \[ \frac{5a + 5}{3} < 0 \] \[ 5a + 5 < 0 \] \[ a < -1 \]

Итог

Для условия однозначности решений \( a \) должно быть \( a \leq -1 \) из первого случая и \( a < -1 \) из второго случая. Таким образом, единственное значение, при котором уравнение имеет одно решение, задаётся:

\[ a = -1 \]

Это и будет искомый параметр, при котором уравнение имеет одно решение.