При каких значениях параметра a уравнение |7x+2a-4|=|4a+5x-8| имеет одно решение

Для того чтобы определить, при каких значениях параметра \( a \) уравнение \( |7x + 2a - 4| = |4a + 5x - 8| \) имеет одно решение, нужно рассмотреть случаи, когда модули уравнения равны.

Уравнение может иметь одно решение в следующих случаях:

1. Когда оба выражения под модулями равны:
   \[ 7x + 2a - 4 = 4a + 5x - 8 \] Переписываем уравнение: \[ 7x - 5x + 2a - 4a = -8 + 4 \] \[ 2x - 2a = -4 \] \[ 2x = 2a - 4 \] \[ x = a - 2 \]

2. Когда оба выражения под модулями имеют одинаковое значение, но с разными знаками: \[ 7x + 2a - 4 = -(4a + 5x - 8) \] Переписываем это уравнение: \[ 7x + 2a - 4 = -4a - 5x + 8 \] \[ 7x + 5x + 2a + 4a = 8 + 4 \] \[ 12x + 6a = 12 \] \[ 12x = 12 - 6a \] \[ x = 1 - \frac{a}{2} \]

Теперь сравним оба выражения для решения \( x \). У нас есть:

1. \( x = a - 2 \)
2. \( x = 1 - \frac{a}{2} \)

Для того чтобы уравнения имели единственное решение, оба выражения должны совпадать: \[ a - 2 = 1 - \frac{a}{2} \]

Решим это уравнение:

1. Умножим все на 2, чтобы избавиться от дроби: \[ 2(a - 2) = 2(1 - \frac{a}{2}) \] \[ 2a - 4 = 2 - a \]
2. Переносим все термины с \( a \) в одну сторону: \[ 2a + a = 2 + 4 \] \[ 3a = 6 \] \[ a = 2 \]

Таким образом, уравнение \( |7x + 2a - 4| = |4a + 5x - 8| \) имеет одно решение при \( a = 2 \).