A(1;1), B(4;2), C(5;5), D(2;4). Докажите что ABCD - параллелограмм
Чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является параллелограммом, мы можем показать, что его противоположные стороны равны или что диагонали пересекаются в серединах, или что по крайней мере две стороны равны и параллельны.
Метод 1: Доказательство равенства противоположных сторон.
- Найдем длины сторон AB и CD:
Координаты A(1, 1) и B(4, 2)
Длина AB = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)
Длина AB = √((4 - 1)² + (2 - 1)²) = √(3² + 1²) = √(9 + 1) = √10
Координаты C(5, 5) и D(2, 4)
Длина CD = √((2 - 5)² + (4 - 5)²)
Длина CD = √((-3)² + (-1)²) = √(9 + 1) = √10
Таким образом, AB = CD.
- Теперь найдем длины сторон AD и BC:
Координаты A(1, 1) и D(2, 4)
Длина AD = √((2 - 1)² + (4 - 1)²)
Длина AD = √(1² + 3²) = √(1 + 9) = √10
Координаты B(4, 2) и C(5, 5)
Длина BC = √((5 - 4)² + (5 - 2)²)
Длина BC = √(1² + 3²) = √(1 + 9) = √10
Таким образом, AD = BC.
Поскольку у нас есть равенство противоположных сторон (AB = CD и AD = BC), четырехугольник ABCD является параллелограммом.
Метод 2: Проверка середин диагоналей.
Мы также можем проверить, что диагонали AC и BD пересекаются в серединах.
- Найдем средние точки AC и BD:
- Средняя точка AC = ((x1 + x2)/2; (y1 + y2)/2) = ((1 + 5)/2; (1 + 5)/2) = (3; 3)
- Средняя точка BD = ((4 + 2)/2; (2 + 4)/2) = (3; 3)
Так как средние точки пересекаются в одной и той же точке, это также подтверждает, что ABCD является параллелограммом.
Таким образом, и по первому, и по второму методу, мы доказали, что ABCD – это параллелограмм.
