4 ^ (x + 1) + 2 ^ x - 5 = 0 ; г) 4 ^ x - 3 * (√4) ^ x - 4 = 0

Давайте решим оба уравнения по очереди.

1. Уравнение: \( 4^{(x + 1)} + 2^{x} - 5 = 0 \)

Сначала мы можем упростить выражение \( 4^{(x + 1)} \). Напомним, что \( 4 = 2^2 \), следовательно:

\[ 4^{(x + 1)} = (2^2)^{(x + 1)} = 2^{2(x + 1)} = 2^{2x + 2} \]

Теперь подставим это в уравнение:

\[ 2^{2x + 2} + 2^{x} - 5 = 0 \]

Теперь давайте сделаем замену: пусть \( y = 2^x \). Тогда \( 2^{2x} = (2^x)^2 = y^2 \). Таким образом, уравнение можно записать как:

\[ y^2 \cdot 2^2 + y - 5 = 0 \] или \[ 4y^2 + y - 5 = 0 \]

Теперь решим квадратное уравнение \( 4y^2 + y - 5 = 0 \) с помощью формулы корней:

\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

где \( a = 4 \), \( b = 1 \), \( c = -5 \):

\[ y = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-5)}}{2 \cdot 4} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 80}}{8} = \frac{-1 \pm \sqrt{81}}{8} = \frac{-1 \pm 9}{8} \]

Теперь найдём корни:

1. \( y_1 = \frac{8}{8} = 1 \)
2. \( y_2 = \frac{-10}{8} = -\frac{5}{4} \) (это значение не подходит, так как \( y = 2^x \) не может быть отрицательным)

Итак, у нас есть:

\[ y = 1 \implies 2^x = 1 \implies x = 0 \]

Таким образом, решение первого уравнения: \( x = 0 \).

2. Уравнение: \( 4^{x} - 3 \cdot (√4)^{x} - 4 = 0 \)

Опять же, упростим это уравнение. Поскольку \( √4 = 2 \), можем написать:

\[ 4^x - 3 \cdot 2^x - 4 = 0 \]

Заменим \( 4^x \) на \( (2^2)^x = (2^x)^2 = y^2 \):

\[ y^2 - 3y - 4 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение, где:

\( a = 1 \), \( b = -3 \), \( c = -4 \):

\[ y = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4)}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{3 \pm 5}{2} \]

Теперь найдём корни:

1. \( y_1 = \frac{8}{2} = 4 \)
2. \( y_2 = \frac{-2}{2} = -1 \) (это значение не подходит, так как \( y = 2^x \) не может быть отрицательным)

Теперь, \( y = 4 \implies 2^x = 4 \implies x = 2 \).

Таким образом, решение второго уравнения: \( x = 2 \).

В итоге, у нас есть два решения:

1. Для уравнения \( 4^{(x + 1)} + 2^{x} - 5 = 0 \): \( x = 0 \)
2. Для уравнения \( 4^{x} - 3 \cdot (√4)^{x} - 4 = 0 \): \( x = 2 \)