Определите количество решений уравнений

Давай разберёмся с системой уравнений:

1. Первое уравнение: \( x^2 + (y - 7)^2 = 49 \).

   • Это уравнение окружности с центром в точке (0, 7) и радиусом 7.

2. Второе уравнение: \( y = 3x - 5 \).

   • Это уравнение прямой с угловым коэффициентом 3 и началом в -5.

Теперь нужно найти количество точек пересечения прямой и окружности:

1. Подставим выражение для \( y \) из второго уравнения во второе уравнение окружности: \[ x^2 + ((3x - 5) - 7)^2 = 49 \]
2. Упростим выражение: \[ x^2 + (3x - 12)^2 = 49 \]
3. Раскроем скобки: \[ x^2 + 9x^2 - 72x + 144 = 49 \]
4. Объединим и упростим: \[ 10x^2 - 72x + 95 = 0 \]

Теперь нужно решить квадратное уравнение:

• Найдём дискриминант: \(\Delta = b^2 - 4ac = (-72)^2 - 4 \cdot 10 \cdot 95\).
• \(\Delta = 5184 - 3800 = 1384\).

Дискриминант положительный, значит, у квадратного уравнения два решения. Следовательно, прямая пересекает окружность в двух точках.

Ответ: 2 решения.