угол параллелограмма равен 60° разность сторон равна 4 см а большая диагональ равна 14 см. найдите меньшую диагональ и площадь параллелограмма
Для решения задачи нам нужно использовать известные формулы и свойства параллелограмма.
Параллелограмм может быть описан через его углы, стороны и диагонали. В данной задаче угол параллелограмма \( A = 60^\circ \), разность длин его сторон \( a - b = 4 \, см \) и одна из диагоналей (большая) \( d_1 = 14 \, см \).
Обозначим стороны параллелограмма как \( a \) и \( b \) (где \( a > b \)). Из условия задачи имеем: \[ a - b = 4 \Rightarrow a = b + 4. \]
Теперь используем формулу для вычисления диагонали параллелограмма: \[ d_1 = \sqrt{a^2 + b^2 + 2ab \cos A}. \] Подставим известные значения в эту формулу: \[ 14 = \sqrt{a^2 + b^2 + 2ab \cdot \cos(60^\circ)}. \] Поскольку \( \cos(60^\circ) = 0.5 \), у нас получается: \[ 14 = \sqrt{a^2 + b^2 + ab}. \] Возведем обе стороны в квадрат: \[ 196 = a^2 + b^2 + ab. \]
Используем выражение для \( a \) и подставим его в уравнение: \[ a = b + 4 \Rightarrow a^2 = (b + 4)^2 = b^2 + 8b + 16. \] Подставим в уравнение: \[ 196 = (b^2 + 8b + 16) + b^2 + (b + 4)b. \] Упростим это: \[ 196 = 2b^2 + 8b + 16 + b^2 + 4b = 3b^2 + 12b + 16. \] Переносим все в одну сторону: \[ 3b^2 + 12b + 16 - 196 = 0 \Rightarrow 3b^2 + 12b - 180 = 0. \]
Разделим все уравнение на 3: \[ b^2 + 4b - 60 = 0. \] Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-60) = 16 + 240 = 256. \] Таким образом, корни уравнения: \[ b = \frac{-4 \pm \sqrt{256}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm 16}{2}. \] Это дает: \[ b_1 = \frac{12}{2} = 6 \quad и \quad b_2 = \frac{-20}{2} = -10. \] Мы берем только положительное значение \( b = 6 \).
Теперь найдем \( a \): \[ a = b + 4 = 6 + 4 = 10. \]
Теперь мы можем найти меньшую диагональ \( d_2 \) по формуле: \[ d_2 = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab \cos A}. \] Подставим известные значения: \[ d_2 = \sqrt{10^2 + 6^2 - 2 \cdot 10 \cdot 6 \cdot 0.5} = \sqrt{100 + 36 - 60} = \sqrt{76} = 2\sqrt{19}. \]
Для нахождения площади \( S \) параллелограмма используем формулу: \[ S = a \cdot b \cdot \sin A = 10 \cdot 6 \cdot \sin(60^\circ) = 10 \cdot 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 30\sqrt{3} \, см^2. \]
Таким образом, меньшая диагональ \( d_2 = 2\sqrt{19} \, см \) и площадь \( S = 30\sqrt{3} \, см^2 \).
