угол параллелограмма равен 120 большая диагональ 14 см а одна из сторон 10. найдите периметр и площадь параллелограмма
Чтобы найти периметр и площадь параллелограмма, нам нужно использовать некоторые свойства геометрических фигур, а также формулы.
- Периметр параллелограмма: Периметр \( P \) параллелограмма можно найти по формуле: \[ P = 2(a + b) \] где \( a \) и \( b \) — длины смежных сторон.
В данной задаче одна из сторон \( a = 10 \) см, а другую сторону \( b \) необходимо найти.
Мы знаем, что угол между сторонами равен 120 градусам. Поскольку диагонали параллелограмма делят его на два равных треугольника, можно использовать косинус угла для нахождения второй стороны, используя диагонали.
Для начала найдем \( b \) с помощью теоремы косинусов. Согласно теореме: \[ d^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\theta) \] где \( d \) — длина диагонали, \( a \) и \( b \) — стороны, а \( \theta = 120^\circ \).
Косинус 120 градусов равен -0.5. Подставляем известные значения: \[ 14^2 = 10^2 + b^2 - 2 \cdot 10 \cdot b \cdot (-0.5) \] \[ 196 = 100 + b^2 + 10b \] \[ b^2 + 10b + 100 - 196 = 0 \] \[ b^2 + 10b - 96 = 0 \]
Теперь решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-96) = 100 + 384 = 484 \] \[ b = \frac{-10 \pm \sqrt{484}}{2} \] \[ b = \frac{-10 \pm 22}{2} \]
Таким образом, решения: \[ b_1 = \frac{12}{2} = 6, \quad b_2 = \frac{-32}{2} = -16 \text{ (не годится)} \]
Итак, вторая сторона \( b = 6 \) см.
Теперь можем найти периметр: \[ P = 2(10 + 6) = 2 \cdot 16 = 32 \text{ см} \]
- Площадь параллелограмма: Площадь \( S \) параллелограмма можно найти по формуле: \[ S = a \cdot b \cdot \sin(\theta) \] где \( \sin(120^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \).
Подставляем известные значения: \[ S = 10 \cdot 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ S = 60 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 30\sqrt{3} \text{ см}^2 \]
Таким образом, периметр параллелограмма равен 32 см, а площадь составляет \( 30\sqrt{3} \) см².
