15.1. Какие из следующих конечных последовательностей являют а) арифметическими прогрессиями; б) геометрическими пр грессиями: 5)2; -(sqrt (2)); 1 ; - (sqrt(2))/2 1/2 6) 14/17…
15.1. Какие из следующих конечных последовательностей являют а) арифметическими прогрессиями; б) геометрическими пр грессиями: 5)2; -(sqrt (2)); 1 ; - (sqrt(2))/2 1/2 6) 14/17 9/17 4/17 - 1/17 - 6/17
Чтобы выяснить, какие из данных последовательностей являются арифметическими или геометрическими прогрессиями, давайте рассмотрим каждую последовательность по отдельности.
Арифметическая прогрессия (АП) – это последовательность, в которой разность соседних членов постоянна. То есть, если последовательность имеет члены \(a_1, a_2, a_3, \ldots\), то для арифметической прогрессии выполняется условие \(a_{n+1} - a_n = d\), где \(d\) – постоянная разность.
Геометрическая прогрессия (ГП) – это последовательность, в которой отношение соседних членов постоянно. То есть, если \(b_1, b_2, b_3, \ldots\), то для геометрической прогрессии выполняется условие \(\frac{b_{n+1}}{b_n} = q\), где \(q\) – постоянное отношение.
Теперь рассмотрим каждую из последовательностей:
Последовательность 5: \(2\), \(-\sqrt{2}\), \(1\), \(-\frac{\sqrt{2}}{2}\), \(\frac{1}{2}\)
Находим разности между соседними членами:
- \(-\sqrt{2} - 2\)
- \(1 - (-\sqrt{2})\)
- \(-\frac{\sqrt{2}}{2} - 1\)
- \(\frac{1}{2} - (-\frac{\sqrt{2}}{2})\)
Видно, что разности не одинаковые, следовательно, это не арифметическая прогрессия.
Теперь находим отношения между соседними членами:
- \(\frac{-\sqrt{2}}{2}\)
- \(\frac{1}{-\sqrt{2}}\)
- \(\frac{-\frac{\sqrt{2}}{2}}{1}\)
- \(\frac{\frac{1}{2}}{-\frac{\sqrt{2}}{2}}\)
Разные значения, значит, это не геометрическая прогрессия.
Ответ для последовательности 5: не арифметическая, не геометрическая прогрессия.
Последовательность 6: \(\frac{14}{17}\), \(\frac{9}{17}\), \(\frac{4}{17}\), \(-\frac{1}{17}\), \(-\frac{6}{17}\)
Находим разности:
- \(\frac{9}{17} - \frac{14}{17} = -\frac{5}{17}\)
- \(\frac{4}{17} - \frac{9}{17} = -\frac{5}{17}\)
- \(-\frac{1}{17} - \frac{4}{17} = -\frac{5}{17}\)
- \(-\frac{6}{17} - -\frac{1}{17} = -\frac{5}{17}\)
Так как разность между всеми членами постоянна и равна \(-\frac{5}{17}\), это арифметическая прогрессия.
Теперь находим отношения:
- \(\frac{\frac{9}{17}}{\frac{14}{17}} = \frac{9}{14}\)
- \(\frac{\frac{4}{17}}{\frac{9}{17}} = \frac{4}{9}\)
- \(\frac{-\frac{1}{17}}{\frac{4}{17}} = -\frac{1}{4}\)
- \(\frac{-\frac{6}{17}}{-\frac{1}{17}} = 6\)
Разные значения, значит, это не геометрическая прогрессия.
Ответ для последовательности 6: арифметическая прогрессия, не геометрическая прогрессия.
Таким образом, последовательность 5 не является ни арифметической, ни геометрической прогрессией, а последовательность 6 является арифметической прогрессией, но не геометрической.
