Докажи,что четырёхугольник ABCD является прямоугольником,найди его площадь,если A(14;2),B(18;10),C(10;14) и D(6;6)

Чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является прямоугольником, и найти его площадь, нам нужно выполнить несколько шагов.

Шаг 1: Проверка перпендикулярности сторон.

Для начала, воспользуемся координатами вершин:

• A(14; 2)
• B(18; 10)
• C(10; 14)
• D(6; 6)

Мы можем вычислить наклоны (угловые коэффициенты) сторон:

1. Наклон AB: \[ k_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{10 - 2}{18 - 14} = \frac{8}{4} = 2 \]

2. Наклон BC: \[ k_{BC} = \frac{y_C - y_B}{x_C - x_B} = \frac{14 - 10}{10 - 18} = \frac{4}{-8} = -\frac{1}{2} \]

3. Наклон CD: \[ k_{CD} = \frac{y_D - y_C}{x_D - x_C} = \frac{6 - 14}{6 - 10} = \frac{-8}{-4} = 2 \]

4. Наклон DA: \[ k_{DA} = \frac{y_A - y_D}{x_A - x_D} = \frac{2 - 6}{14 - 6} = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2} \]

Теперь проверим, перпендикулярны ли стороны:

• Стороны AB и BC: \[ k_{AB} \cdot k_{BC} = 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -1 \]

• Стороны CD и DA: \[ k_{CD} \cdot k_{DA} = 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -1 \]

Так как произведения угловых коэффициентов равны -1, стороны AB и BC, а также CD и DA перпендикулярны, что подтверждает, что ABCD является прямоугольником.

Шаг 2: Вычисление площади.

Площадь прямоугольника можно найти, используя формулу: \[ S = AB \cdot BC \]

Сначала найдем длины сторон:

1. Длина AB: \[ AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} = \sqrt{(18 - 14)^2 + (10 - 2)^2} = \sqrt{4^2 + 8^2} = \sqrt{16 + 64} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5} \]

2. Длина BC: \[ BC = \sqrt{(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2} = \sqrt{(10 - 18)^2 + (14 - 10)^2} = \sqrt{(-8)^2 + 4^2} = \sqrt{64 + 16} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5} \]

Теперь можем найти площадь: \[ S = AB \cdot BC = 4\sqrt{5} \cdot 4\sqrt{5} = 16 \cdot 5 = 80 \]

Ответ: Четырехугольник ABCD является прямоугольником, а его площадь равна 80 квадратных единиц.