X⁷-x⁶=64x-64

Чтобы решить уравнение \( x^7 - x^6 = 64x - 64 \), начнем с приведения его к более удобному виду. Переносим все члены на одну сторону уравнения:

\[ x^7 - x^6 - 64x + 64 = 0 \]

Теперь попытаемся упростить выражение. Можно вынести общий множитель из первых двух членов:

\[ x^6(x - 1) - 64(x - 1) = 0 \]

Теперь заметим, что мы можем выделить общий множитель \((x - 1)\):

\[ (x - 1)(x^6 - 64) = 0 \]

Теперь у нас есть два множителя, которые равны нулю:

1. \( x - 1 = 0 \)
2. \( x^6 - 64 = 0 \)

Решим первое уравнение:

\[ x - 1 = 0 \implies x = 1 \]

Теперь решим второе уравнение:

\[ x^6 - 64 = 0 \implies x^6 = 64 \]

Здесь \(64\) можно записать как \(2^6\), поэтому:

\[ x^6 = 2^6 \implies x = 2 \quad \text{или} \quad x = -2 \quad \text{(с учетом комплексных корней, но здесь речь о вещественных)} \]

Таким образом, \( x = 2 \) и \( x = -2 \) – это тоже корни уравнения, но так как мы рассматриваем только вещественные числа, то мы можем обойтись без комплексных корней.

Итак, итоговые решения:

\[ x = 1 \quad \text{и} \quad x = 2 \]

Таким образом, корни уравнения \( x^7 - x^6 = 64x - 64 \): \( x = 1 \) и \( x = 2 \).