Периметр четырёхугольника  K L M N KLMN относится к периметру подобного ему четырёхугольника  P R S T PRST как  5 : 8 5:8. Длина стороны  K L = 17 KL=17 см, а длина стороны  S T ST на  24 24 см больше длины стороны  P R PR. Найди длину стороны  M N MN, если стороны  K L KL и  P R PR, а также  M N MN и S T ST сходственные.

Чтобы решить задачу, давайте начнем с нахождения длины стороны \( P R \) и \( S T \).

Из условия мы знаем, что периметры четырехугольников \( KLMN \) и \( PRST \) находятся в отношении \( 5:8 \). Это означает, что длины соответствующих сторон также находятся в этом отношении. Мы можем выразить длину стороны \( P R \) через сторону \( K L \):

\[ \frac{K L}{P R} = \frac{5}{8} \]

Подставим известное значение \( K L = 17 \) см:

\[ \frac{17}{P R} = \frac{5}{8} \]

Отсюда:

\[ P R = \frac{17 \cdot 8}{5} = \frac{136}{5} = 27.2 \text{ см} \]

Теперь найдем длину стороны \( S T \). Согласно условию, длина стороны \( S T \) на \( 24 \) см больше, чем длина стороны \( P R \):

\[ S T = P R + 24 = 27.2 + 24 = 51.2 \text{ см} \]

Теперь обозначим длину стороны \( M N \) как \( x \). Поскольку стороны \( M N \) и \( S T \) также соответствуют друг другу, мы можем написать соотношение:

\[ \frac{M N}{S T} = \frac{5}{8} \]

Подставим значение \( S T = 51.2 \) см:

\[ \frac{x}{51.2} = \frac{5}{8} \]

Теперь решим это уравнение:

\[ x = 51.2 \cdot \frac{5}{8} \]

Расчитаем:

\[ x = 51.2 \cdot 0.625 = 32 \text{ см} \]

Таким образом, длина стороны \( M N \) составляет \( 32 \) см.