Постройте график квадратичной функции a) y = x ^ 2 + 2x - 15 б) y = - 2x ^ 2 + 8x - 6 в) у = 0,5 x ^ 2 - 3x + 4 г) y = - 2x ^ 2 + 6x

Давайте разберём каждую из заданных квадратичных функций и построим их графики. Квадратичные функции имеют вид \( y = ax^2 + bx + c \) и их графики представляют собой параболы.

a) \( y = x^2 + 2x - 15 \)

1. Находим вершину параболы. Вершина параболы для квадратичной функции вида \( y = ax^2 + bx + c \) находится по формуле \( x = -\frac{b}{2a} \).

   • Здесь \( a = 1 \), \( b = 2 \), следовательно, \( x = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1 \).

2. Находим значение функции в вершине.

   • Подставляем \( x = -1 \) в функцию: \( y = (-1)^2 + 2(-1) - 15 = 1 - 2 - 15 = -16 \).

3. Корни уравнения.

   • Для нахождения корней используем дискриминант \( D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64 \).
   • Корни: \[ x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - 8}{2} = -5, \] \[ x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + 8}{2} = 3. \]

Парабола открыта вверх, с вершиной в точке \((-1, -16)\) и пересекает ось x в \(-5\) и \(3\).

б) \( y = -2x^2 + 8x - 6 \)

1. Находим вершину.

   • Здесь \( a = -2 \), \( b = 8 \), поэтому \( x = -\frac{8}{2 \cdot (-2)} = 2 \).

2. Находим значение функции в вершине.

   • Подставляем \( x = 2 \): \( y = -2(2^2) + 8(2) - 6 = -8 + 16 - 6 = 2 \).

3. Корни уравнения.

   • Дискриминант: \( D = 8^2 - 4 \cdot (-2)(-6) = 64 - 48 = 16 \).
   • Корни: \[ x_1 = \frac{-8 - 4}{-4} = 3, \] \[ x_2 = \frac{-8 + 4}{-4} = 1. \]

Парабола открыта вниз, с вершиной в \( (2, 2) \) и пересекает ось x в \(1\) и \(3\).

в) \( y = 0.5x^2 - 3x + 4 \)

1. Находим вершину.

   • Здесь \( a = 0.5 \), \( b = -3 \), поэтому \( x = -\frac{-3}{2 \cdot 0.5} = 3 \).

2. Находим значение функции в вершине.

   • Подставляем \( x = 3 \): \( y = 0.5(3^2) - 3(3) + 4 = 4.5 - 9 + 4 = -0.5 \).

3. Корни уравнения.

   • Дискриминант: \( D = (-3)^2 - 4 \cdot 0.5 \cdot 4 = 9 - 8 = 1 \).
   • Корни: \[ x_1 = \frac{3 - 1}{1} = 2, \] \[ x_2 = \frac{3 + 1}{1} = 4. \]

Парабола открыта вверх, с вершиной в \( (3, -0.5) \) и пересекает ось x в \(2\) и \(4\).

г) \( y = -2x^2 + 6x \)

1. Находим вершину.

   • Здесь \( a = -2 \), \( b = 6 \), поэтому \( x = -\frac{6}{2 \cdot (-2)} = 1.5 \).

2. Находим значение функции в вершине.

   • Подставляем \( x = 1.5 \): \( y = -2(1.5^2) + 6(1.5) = -4.5 + 9 = 4.5 \).

3. Корни уравнения.

   • Здесь \( c = 0 \), корни найдём так: \[ -2x(x - 3) = 0 \Rightarrow x_1 = 0, x_2 = 3. \]

Парабола открыта вниз, с вершиной в \( (1.5, 4.5) \) и пересекает ось x в \(0\) и \(3\).

Итог

Для каждого уравнения мы получили важные характеристики: координаты вершины и корни. Теперь можно построить графики этих функций, помня, что параболы могут открываться вверх или вниз в зависимости от знака \( a \). Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно помочь с графиками, дайте знать!