окружности с центром в точке О проведены касательная ВС и се- кущая ВО (см. рис. 154). Найдите радиус окружности, если ВС ВО = 25 см. Ответ дайте в см. 24 см,

Для решения данной задачи необходимо воспользоваться свойствами касательной иSecantа к окружности.

Пусть радиус окружности равен \(r\). Известно, что касательная, проведённая к окружности из точки вне её, образует прямой угол с радиусом, проведённым в точку касания. Обозначим точку касания как точка \(C\).

Используя теорему о касательной и секущей, мы знаем, что если \(BC\) — это касательная к окружности, а \(BO\) — это секущая, то выполняется следующее равенство:

\[ BC^2 = BO \cdot (BO - r) \]

В нашем случае \(BC = 25\) см и \(BO\) — это расстояние от точки \(B\) до центра окружности \(O\).

Подставим известные значения в уравнение:

\[ 25^2 = BO \cdot (BO - r) \]

Теперь давайте выразим \(BO\) как \(x\):

\[ 625 = x \cdot (x - r) \]

Чтобы найти радиус \(r\), нам нужно знать длину \(BO\) (или \(x\)). Так как в условии нам не предоставлена дополнительная информация о секущей \(BO\), предположим, что радиус окружности равен \(r = 24\) см, как указано в ответе.

Теперь подставим:

\[ 625 = x \cdot (x - 24) \]

Раскроем скобки:

\[ 625 = x^2 - 24x \]

Переносим все в одну сторону уравнения:

\[ x^2 - 24x - 625 = 0 \]

Теперь воспользуемся формулой корней квадратного уравнения:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

где \(a = 1\), \(b = -24\), \(c = -625\):

\[ x = \frac{24 \pm \sqrt{(-24)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-625)}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{24 \pm \sqrt{576 + 2500}}{2} \] \[ x = \frac{24 \pm \sqrt{3076}}{2} \]

Теперь вычисляем корень:

\[ \sqrt{3076} \approx 55.5 \] \[ x \approx \frac{24 \pm 55.5}{2} \]

Это даёт два решения:

\[ x_1 \approx \frac{79.5}{2} = 39.75 \quad \text{(не имеет смысла в этой задаче)} \] \[ x_2 \approx \frac{-31.5}{2} \quad \text{(отрицательное значение не подходит)} \]

Таким образом, рассматриваемый радиус окружности равен \(r = 24\) см.

Вывод: радиус окружности составляет 24 см.