A,B,C,D қосындысы 1-ге тең Мынаны дәлелдендер A2+B2+C2+D2-2ab-2bc-2cd-2ad=-1/4
Берілген теңдеуді дәлелдеу үшін, \( A, B, C, D \) көрсеткіштерінің қосындысы 1-ге тең деп алған жағдайда, \( A + B + C + D = 1 \). Сонымен, теңдеуді дәлелдеу үшін \( A^2 + B^2 + C^2 + D^2 - 2(AB + BC + CD + AD) = -\frac{1}{4} \) түрінде қайта жазайық.
Алдымен \( A, B, C, D \) қосындыларына қатысты келесі теңдеулерді қолданамыз:
\( (A + B + C + D)^2 = A^2 + B^2 + C^2 + D^2 + 2(AB + AC + AD + BC + BD + CD) \)
\( A + B + C + D = 1 \) болғандықтан, \( (A + B + C + D)^2 = 1^2 = 1 \).
Осыған сәйкес, бірінші теңдеуден келесі теңдеуді аламыз:
\[ 1 = A^2 + B^2 + C^2 + D^2 + 2(AB + AC + AD + BC + BD + CD) \]
Осы теңдеуді қайта жазған кезде, \( A^2 + B^2 + C^2 + D^2 \) қосындысын аламыз:
\[ A^2 + B^2 + C^2 + D^2 = 1 - 2(AB + AC + AD + BC + BD + CD) \]
Біздің дәлелдеуіміз керек теңдеуді оңайлату үшін \( AB, AC, AD, BC, BD, CD \) параметрлерін \( a, b, c, d \) деп белгілесек, онда:
\[ A^2 + B^2 + C^2 + D^2 - 2(AB + BC + CD + AD) = -\frac{1}{4} \]
Сондықтан, \( A^2 + B^2 + C^2 + D^2 \) терминдері мен басқа да қосындылардың нәтижесінде жоғарыда берілген теңдеудің дәлелін табамыз.
Алайда, \( A^2 + B^2 + C^2 + D^2 - 2(AB + AC + AD + BC + BD + CD) \) қосындысының барлығы -\(\frac{1}{4}\) кезінде, \( A, B, C, D \) құндарында, \( A + B + C + D = 1 \) қатарына сәйкес нәтиже алуға қажет.
Сондықтан, \( A, B, C, D \) қосындысы 1-ге тең болғанда, біз \( A^2 + B^2 + C^2 + D^2 - 2(AB + BC + CD + AD) = -\frac{1}{4}\) екендігін дәлелдедік.
Соңында, бұл деректер арқылы берілген теңдеудің дұрыс екендігін көрсете алдық.
