Докажите что треугольник с вершинами в серединах сторон данного треугольника подобен данному. Чему равен коэффициент подобия?

Для доказательства подобия треугольника, образованного вершинами в серединах сторон данного треугольника, и самого данного треугольника, воспользуемся теоремой о средних линиях.

Пусть у нас есть треугольник \( ABC \). Обозначим середины сторон \( BC \), \( AC \) и \( AB \) как \( D \), \( E \) и \( F \) соответственно. Мы образуем новый треугольник \( DEF \).

Согласно теореме о средних линиях, отрезки, соединяющие середины сторон треугольника, параллельны соответствующим сторонам данного треугольника и равны половине их длины. Это можно записать так:

1. Отрезок \( DE \) параллелен \( AB \) и \( DE = \frac{1}{2} AB \).
2. Отрезок \( EF \) параллелен \( BC \) и \( EF = \frac{1}{2} BC \).
3. Отрезок \( FD \) параллелен \( AC \) и \( FD = \frac{1}{2} AC \).

Таким образом, треугольник \( DEF \) подобен треугольнику \( ABC \) по признаку "угол-угол" (AA), так как два угла одного треугольника равны двум углам другого (углы \( \angle D \) и \( \angle A \) равны, а также углы \( \angle E \) и \( \angle B \) соответственно).

Коэффициент подобия между треугольником \( DEF \) и треугольником \( ABC \) равен \( \frac{1}{2} \), так как каждая сторона треугольника \( DEF \) равна половине соответствующей стороны треугольника \( ABC \).

Таким образом, окончательный ответ: треугольник \( DEF \) подобен треугольнику \( ABC \), и коэффициент подобия равен \( \frac{1}{2} \).