Решите однородное тригонометрическое уравнение: 1) 4cosx + sinxcosx 3sin^2 x - 3 = 0

Решим однородное тригонометрическое уравнение:

\[ 4 \cos x + \sin x \cos x + 3 \sin^2 x - 3 = 0. \]

Сначала выразим уравнение через одну тригонометрическую функцию. Мы знаем, что \(\sin^2 x = 1 - \cos^2 x\). Подставим это в уравнение:

\[ 4 \cos x + \sin x \cos x + 3(1 - \cos^2 x) - 3 = 0. \]

Упростим уравнение:

\[ 4 \cos x + \sin x \cos x + 3 - 3 \cos^2 x - 3 = 0, \] \[ 4 \cos x + \sin x \cos x - 3 \cos^2 x = 0. \]

Теперь можно выделить \(\cos x\):

\[ \cos x (4 + \sin x - 3 \cos x) = 0. \]

Это уравнение имеет два случая:

1. \(\cos x = 0\).
2. \(4 + \sin x - 3 \cos x = 0\).

Решим первый случай:

1. \(\cos x = 0\) дает \(x = \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}\).

Теперь рассмотрим второй случай:

\[ 4 + \sin x - 3 \cos x = 0. \]

Выразим \(\sin x\) через \(\cos x\):

\[ \sin x = 3 \cos x - 4. \]

Используем тождество \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\):

\[(3 \cos x - 4)^2 + \cos^2 x = 1.\]

Раскроем квадрат:

\[ 9 \cos^2 x - 24 \cos x + 16 + \cos^2 x = 1,\] \[ 10 \cos^2 x - 24 \cos x + 15 = 0.\]

Теперь решим квадратное уравнение:

\[ 10 \cos^2 x - 24 \cos x + 15 = 0. \]

Используем формулу для решения квадратных уравнений:

\[ \cos x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \] где \(a = 10\), \(b = -24\), \(c = 15\).

Подставим значения:

\[ \cos x = \frac{24 \pm \sqrt{(-24)^2 - 4 \cdot 10 \cdot 15}}{2 \cdot 10}, \] \[ \cos x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 600}}{20}, \] \[ \cos x = \frac{24 \pm \sqrt{-24}}{20}. \]

Так как подкоренное выражение отрицательное, уравнение не имеет действительных корней.

Таким образом, мы получаем, что решение нашего уравнения: \[ x = \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}. \]