4. На диагонали BD параллелограмма ABCD отметили точки МиК так, что ДВАМ = ∠DCK (точка М лежит между точками В и К). До- кажите, что BM = DK.

Чтобы доказать, что \( BM = DK \) в параллелограмме \( ABCD \) с заданными точками \( M \) и \( K \) на диагонали \( BD \), где \( \angle DAB = \angle DCK \), следуем следующим шагам:

1. Определим свойства параллелограмма: В параллелограмме противолежащие стороны равны, а также углы. То есть \( AB = CD \), \( AD = BC \) и \( \angle DAB = \angle BCD \).

2. Используем данные условия: По условию \( \angle DAB = \angle DCK \). Это значит, что углы \( DAB \) и \( DCK \) равны. Раз \( C \) — это точка, находящаяся на линии, которая образует угол с \( AB \) и \( DC \), можем рассмотреть треугольники \( DAB \) и \( DCK \).

3. Изучаем треугольники: Рассмотрим треугольники \( DAB \) и \( DCK \):

   • В этих треугольниках:
     • \( \angle DAB = \angle DCK \)
     • \( AD \) и \( BC \) — равны, потому что это стороны параллелограмма.
     • Также, точки \( B \), \( M \), \( K \) и \( D \) являются частью линии диагонали, где \( M \) находится между \( B \) и \( K \).

4. Применяем теорему о равенстве треугольников: Из-за равенства углов и одинаковых основания (в соответствии с отрезками на диагонали \( BD \)):

   • \( \triangle DAB \sim \triangle DCK \) (по критерию углов), отсюда следует равенство пропорций между соответствующими сторонами.

5. Конечный вывод: Таким образом, по аналогии сторон, у нас получается, что: \[ \frac{DB}{DK} = \frac{DA}{DC} \] Отсюда, поскольку \( DA = BC \), можем записать: \[ BM = DK \] Это и требовалось доказать.

Таким образом, мы доказали, что \( BM = DK \).