Найдите сумму всех натуральных чисел, кратным 9 и не превосходящих 213

Чтобы найти сумму всех натуральных чисел, кратных 9 и не превосходящих 213, следуем следующим шагам:

1. Определим последние числа, кратные 9: Первым шагом нам нужно найти максимальное число, кратное 9, которое не превышает 213. Это число можно найти, разделив 213 на 9 и округлив результат вниз, после чего умножим его обратно на 9.

   \[ 213 \div 9 = 23,666 \rightarrow 23 \text{ (округляем вниз)} \] \[ 23 \cdot 9 = 207 \]

   Таким образом, максимальное число кратное 9 и не превышающее 213 — это 207.

2. Составим последовательность: Теперь у нас есть последовательность чисел кратных 9: 9, 18, 27, ..., 207.

3. Определим количество членов последовательности: Определим количество членов в этой последовательности. Это арифметическая прогрессия, где первый член \( a = 9 \), последний член \( l = 207 \) и разность \( d = 9 \).

   Чтобы найти количество членов \( n \), используем формулу: \[ n = \frac{l - a}{d} + 1 \] Подставляем значения: \[ n = \frac{207 - 9}{9} + 1 = \frac{198}{9} + 1 = 22 + 1 = 23 \]

4. Вычислим сумму: Сумму членов арифметической прогрессии можно найти по формуле: \[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (a + l) \] Подставим значения: \[ S_{23} = \frac{23}{2} \cdot (9 + 207) = \frac{23}{2} \cdot 216 = 23 \cdot 108 = 2484 \]

Итак, сумма всех натуральных чисел, кратных 9 и не превосходящих 213, равна 2484.