Fie un ∆ABC inscris într-un cerc, unde AB-8 cm și AC-6 cm și unghiul înscris în cerc are 60° (m(∠BAC)=60°). Determinați lungimea laturii BC.
Чтобы найти длину стороны \( BC \) в треугольнике \( \Delta ABC \), вписанном в окружность, мы можем использовать теорему о вписанном угле, а также соотношения между сторонами и углами в треугольнике.
По данному условию у нас есть:
- \( AB = 8 \) см,
- \( AC = 6 \) см,
- угол \( \angle BAC = 60^\circ \).
Для нахождения длины \( BC \) удобно использовать закон косинусов, который гласит, что для любого треугольника с длинами сторон \( a \), \( b \), \( c \) и углом \( \gamma \) между сторонами \( a \) и \( b \) выполняется следующее равенство:
\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\gamma). \]
В нашем случае:
- \( a = AC = 6 \) см,
- \( b = AB = 8 \) см,
- \( \gamma = \angle BAC = 60^\circ \).
Теперь можем подставить эти значения в формулу. Значение косинуса на угле \( 60^\circ \) равно \( 0.5 \).
Подставим числа в закон косинусов:
\[ BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(60^\circ). \]
\[ BC^2 = 8^2 + 6^2 - 2 \cdot 8 \cdot 6 \cdot 0.5. \]
Теперь вычислим каждое слагаемое:
\[ BC^2 = 64 + 36 - 2 \cdot 8 \cdot 6 \cdot 0.5, \]
\[ BC^2 = 64 + 36 - 48. \]
Теперь сложим и вычтем:
\[ BC^2 = 64 + 36 - 48 = 52. \]
Теперь найдем \( BC \), взяв квадратный корень:
\[ BC = \sqrt{52} = \sqrt{4 \cdot 13} = 2\sqrt{13}. \]
Таким образом, длина стороны \( BC \) составляет \( 2\sqrt{13} \) см.
