"На стороне AC треугольника ABC отмечены точки D и E так, что AD = CE. Докажите, что если BE =BE, то AB = BC."

Доказательство:

Поскольку AD = CE, проведем отрезки DE и BE. Получим два равнобедренных треугольника ADE и BCE, так как AD = CE и DE = BE.

Также, по условию задачи, имеем BE = BE. Так как отрезок BE равен самому себе, то треугольники ABE и BDE также равнобедренные.

Значит, у них равны углы при основании: ∠ABE = ∠EBD и ∠BEA = ∠BED.

Из равенства ∠ABE = ∠EBD следует, что они являются соответственными углами при равных сторонах AB и BD.

Таким же образом, из равенства ∠BEA = ∠BED следует, что они являются соответственными углами при равных сторонах BE и DE.

Так как две пары углов треугольников ABE и BDE равны, то третья пара углов также равна: ∠BAE = ∠EDB.

Следовательно, треугольники ABE и BDE подобны (по двум углам при равных сторонах).

Из подобия треугольников следует, что их стороны пропорциональны:

AB/BE = AE/ED и BC/BE = CE/ED.

Так как AE = CE (из условия задачи), получаем AB/BE = BC/BE.

Сокращаем BE (стороны треугольников ABE и BDE равны), получаем AB = BC.

Задача доказана.