Игральный кубик бросают дважды. Известно, что хотя бы раз выпало 3. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 7.
Для решения задачи используем метод условной вероятности.
Обозначим события:
- \( A \): выпало 7 в сумме.
- \( B \): хотя бы один раз выпало 3.
Сначала определим общее количество возможных исходов, когда игральный кубик бросают дважды. Всего у нас \( 6 \times 6 = 36 \) исходов.
Теперь найдем количество благоприятных исходов для события \( B \): Событие \( B \) включает ситуации, когда 3 выпало в первом броске, втором броске или в обоих. Найдем количество исходов, когда 3 не выпало ни разу.
Если 3 не выпало, то для каждого броска у нас остаются 5 возможностей (1, 2, 4, 5, 6). Поэтому количество исходов, где 3 не выпало ни разу равно \( 5 \times 5 = 25 \).
Таким образом, количество исходов, когда хотя бы раз выпало 3: \[ |B| = 36 - 25 = 11 \]
Теперь найдем количество благоприятных исходов для события \( A \cap B \) (выпало 7 и хотя бы один раз 3): Сумма двух бросков равна 7 в следующих случаях:
- (1, 6)
- (2, 5)
- (3, 4)
- (4, 3)
- (5, 2)
- (6, 1)
Из этих сочетаний нас интересует только те, где хотя бы один из бросков равен 3: это (3, 4) и (4, 3). Таким образом, количество благоприятных исходов \( |A \cap B| = 2 \).
Теперь найдем вероятность \( P(A|B) \) по формуле условной вероятности: \[ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{|A \cap B| / |S|}{|B| / |S|} = \frac{|A \cap B|}{|B|}. \]
Подставим найденные значения: \[ P(A|B) = \frac{2}{11}. \]
Итак, вероятность того, что в сумме выпадет 7, при условии, что хотя бы раз выпало 3, равна \( \frac{2}{11} \).
