Даны две правильные четырёхугольные призмы. Первая призма в четыре с половиной раза выше второй, а вторая вдвое уже первой. Во сколько раз объём первой призмы больше объёма второй?
Для решения задачи, давайте сначала напомним, что объем правильной четырёхугольной призмы вычисляется по формуле:
\[ V = S \cdot h \]
где \( S \) – площадь основания (квадрат, так как это правильная призма), а \( h \) – высота призмы.
Обозначим:
- \( h_1 \) и \( S_1 \) – высота и площадь основания первой призмы,
- \( h_2 \) и \( S_2 \) – высота и площадь основания второй призмы.
Согласно условию задачи:
Первая призма в четыре с половиной раза выше второй: \[ h_1 = 4.5 \cdot h_2 \]
Вторая призма вдвое уже первой. Если обозначить сторону квадрата основания первой призмы как \( a_1 \), то сторона основания второй призмы будет равна: \[ a_2 = \frac{1}{2} \cdot a_1 \]
Поскольку основания четырехугольных prism - это квадраты, мы можем выразить площади оснований:
\[ S_1 = a_1^2 \] \[ S_2 = a_2^2 = \left(\frac{1}{2} a_1\right)^2 = \frac{1}{4} a_1^2 = \frac{1}{4} S_1 \]
Теперь найдем объемы призм:
\[ V_1 = S_1 \cdot h_1 = S_1 \cdot (4.5 \cdot h_2) = 4.5 \cdot S_1 \cdot h_2 \] \[ V_2 = S_2 \cdot h_2 = \frac{1}{4} S_1 \cdot h_2 \]
Теперь найдем отношение объемов:
\[ \frac{V_1}{V_2} = \frac{4.5 \cdot S_1 \cdot h_2}{\frac{1}{4} S_1 \cdot h_2} \]
Сократим \( S_1 \) и \( h_2 \):
\[ \frac{V_1}{V_2} = 4.5 \cdot 4 = 18 \]
Таким образом, объем первой призмы оказывается в 18 раз больше объема второй призмы.
