Определить область определения функции: y=√ x^2-6x-16/x^2-12x+11
Чтобы определить область определения функции \( y = \frac{\sqrt{x^2 - 6x - 16}}{x^2 - 12x + 11} \), нужно учитывать несколько условий.
Условие подкоренного выражения: Поскольку под корнем должно быть неотрицательное значение, необходимо решить неравенство: \[ x^2 - 6x - 16 \geq 0 \] Для этого найдем корни квадратного уравнения \( x^2 - 6x - 16 = 0 \) с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 36 + 64 = 100 \] Корни уравнения: \[ x_1 = \frac{6 - \sqrt{100}}{2} = \frac{6 - 10}{2} = -2, \quad x_2 = \frac{6 + \sqrt{100}}{2} = \frac{6 + 10}{2} = 8 \] Теперь определим интервалы, на которых выражение \( x^2 - 6x - 16 \) неотрицательно:
- \( (-\infty, -2] \)
- \( [8, +\infty) \)
Условие знаменателя: Значение знаменателя не должно равняться нулю: \[ x^2 - 12x + 11 \neq 0 \] Найдем корни этого квадратного уравнения: \[ D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 11 = 144 - 44 = 100 \] Корни уравнения: \[ x_1 = \frac{12 - \sqrt{100}}{2} = \frac{12 - 10}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{12 + \sqrt{100}}{2} = \frac{12 + 10}{2} = 11 \]
Значит, \( x^2 - 12x + 11 = 0 \) при \( x = 1 \) и \( x = 11 \). Таким образом, \( x \) не может принимать эти значения.
Теперь скомбинируем оба условия:
- Из первого условия \( x \in (-\infty, -2] \cup [8, +\infty) \).
- Из второго условия следует исключить точки \( x = 1 \) и \( x = 11 \), но они не попадают в интервалы из первого условия.
Таким образом, область определения функции: \[ D = (-\infty, -2] \cup [8, +\infty) \]
Если вам понадобится дополнительная помощь или разъяснения, не стесняйтесь спрашивать!
