Даны векторы a(-4;2) и b(6;3). найдите косинус угла между ними

Чтобы найти косинус угла между векторами \( \mathbf{a} = (-4, 2) \) и \( \mathbf{b} = (6, 3) \), мы можем воспользоваться формулой, основанной на скалярном произведении векторов.

1. Скалярное произведение векторов: Скалярное произведение векторов \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) рассчитывается по формуле: \[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y \] Подставляем значения: \[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (-4) \cdot 6 + 2 \cdot 3 = -24 + 6 = -18 \]

2. Длина векторов: Длина (модуль) вектора \( \mathbf{a} \) вычисляется по формуле: \[ |\mathbf{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2} = \sqrt{(-4)^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \] Для вектора \( \mathbf{b} \): \[ |\mathbf{b}| = \sqrt{b_x^2 + b_y^2} = \sqrt{6^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \]

3. Косинус угла между векторами: Используя формулу для косинуса угла \( \theta \) между векторами, получаем: \[ \cos(\theta) = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| \cdot |\mathbf{b}|} \] Подставляем найденные значения: \[ \cos(\theta) = \frac{-18}{(2\sqrt{5}) \cdot (3\sqrt{5})} = \frac{-18}{6 \cdot 5} = \frac{-18}{30} = -\frac{3}{5} \]

Таким образом, косинус угла между векторами \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) равен \( -\frac{3}{5} \).