x²+4x-8<0
Чтобы решить неравенство \( x^2 + 4x - 8 < 0 \), давайте сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения.
Найдите корни уравнения: Для этого используем формулу дискриминанта:
Дискриминант \( D = b^2 - 4ac \), где \( a = 1 \), \( b = 4 \), \( c = -8 \).
Подставим значения:
\[ D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 16 + 32 = 48. \]
Найдите корни уравнения с использованием формулы корней:
\[ x = \frac{{-b \pm \sqrt{D}}}{2a}. \]
Подставляем значения:
\[ x = \frac{{-4 \pm \sqrt{48}}}{2 \cdot 1} = \frac{{-4 \pm 4\sqrt{3}}}{2} = -2 \pm 2\sqrt{3}. \]
Это дает два корня: \( x_1 = -2 - 2\sqrt{3} \) и \( x_2 = -2 + 2\sqrt{3} \).
Определите промежутки: На числовой прямой мы имеем три промежутка:
- \( (-\infty, -2 - 2\sqrt{3}) \)
- \( (-2 - 2\sqrt{3}, -2 + 2\sqrt{3}) \)
- \( (-2 + 2\sqrt{3}, +\infty) \)
Проверьте знаки на этих промежутках:
Для промежутка \( (-\infty, -2 - 2\sqrt{3}) \) возьмем, например, \( x = -5 \): \[ (-5)^2 + 4(-5) - 8 = 25 - 20 - 8 = -3 < 0. \]
Для промежутка \( (-2 - 2\sqrt{3}, -2 + 2\sqrt{3}) \) возьмем, например, \( x = -2 \): \[ (-2)^2 + 4(-2) - 8 = 4 - 8 - 8 = -12 < 0. \]
Для промежутка \( (-2 + 2\sqrt{3}, +\infty) \) возьмем, например, \( x = 0 \): \[ 0^2 + 4(0) - 8 = -8 < 0. \]
Запишите ответ: Мы видим, что неравенство выполняется на интервалах:
\[ x \in (-\infty, -2 - 2\sqrt{3}) \cup (-2 - 2\sqrt{3}, -2 + 2\sqrt{3}) \cup (-2 + 2\sqrt{3}, +\infty). \]
Таким образом, решение неравенства \( x^2 + 4x - 8 < 0 \) представляет собой объединение данных промежутков. Если вам нужно более подробное объяснение какого-либо шага, дайте знать!
