В прямоугольнике АВСD проведен отрезок DR, где R-середина ВС. В прямоугольнике выбирают произвольную точку. Найдите вероятность события "выбранная точка принадлежит фигуре DCR".
Чтобы решить задачу о вероятности того, что случайно выбранная точка принадлежит фигуре DCR в прямоугольнике ABCD, начнем с анализа всей ситуации.
Определение фигуры: Прямоугольник ABCD имеет четыре вершины: A(0,0), B(a,0), C(a,b), D(0,b). Точка R – середина отрезка BC, что значит, что координаты точки R будут (a, b/2).
Определение треугольника DCR: Вершины треугольника DCR:
- D(0,b)
- C(a,b)
- R(a, b/2)
Площадь треугольника DCR: Площадь треугольника можно найти по формуле: \[ S = \frac{1}{2} \cdot |x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)| \] Подставляем координаты D, C и R: \[ S_{DCR} = \frac{1}{2} \cdot |0(b - b/2) + a(b/2 - b) + a(b - b/2)| \] \[ = \frac{1}{2} \cdot |0 + a(-b/2) + a(b/2)| \] \[ = \frac{1}{2} \cdot |0| = \frac{1}{2} \cdot \frac{ab}{2} = \frac{ab}{4} \]
Площадь прямоугольника ABCD: Площадь прямоугольника определяется как: \[ S_{ABCD} = a \cdot b \]
Вероятность принадлежности точки фигуре DCR: Вероятность можно найти как отношение площади треугольника к площади прямоугольника: \[ P(DCR) = \frac{S_{DCR}}{S_{ABCD}} = \frac{\frac{ab}{4}}{ab} = \frac{1}{4} \]
Таким образом, вероятность того, что случайно выбранная точка принадлежит фигуре DCR, равна \(\frac{1}{4}\) или 25%.
