В прямоугольнике АВСD проведен отрезок AR, где R-середина DС. В прямоугольнике выбирают произвольную точку. Найдите вероятность события "выбранная точка , принадлежит фигуре RCBA".
Для решения данной задачи давайте проанализируем ситуацию и используем некоторые геометрические вычисления.
Определяем фигуру: У нас есть прямоугольник ABCD, в котором проведен отрезок AR, где R — середина отрезка DC. Точка R делит сторону DC на два равных сегмента, то есть CR = RD.
Фигура RCBA: Точка C, точки B и A, а также точка R образуют замкнутую фигуру RCBA. Чтобы найти вероятность принадлежности случайной точки данной фигуре, нужно знать площадь фигуры RCBA и площадь всего прямоугольника ABCD.
Площадь прямоугольника ABCD: Пусть длина прямоугольника AB равна a, а ширина BC равна b. Тогда площадь прямоугольника ABCD равна: \[ S_{ABCD} = a \times b. \]
Площадь фигуры RCBA: Фигура RCBA представляет собой треугольник, образованный точками R, C и А. Чтобы найти его площадь, используем формулу для площади треугольника: \[ S_{RCBA} = \frac{1}{2} \times основание \times высота. \] В этом случае основанием будет отрезок RC, а высотой — перпендикуляр, проведенный из точки A на линию RC.
Поскольку R — середина CD, длина RC равна половине длины стороны CD, и, предположим, что сторона CD равна a, тогда RC = \(\frac{a}{2}\).
Вычисление площади треугольника RCBA: Высота от точки A к линии RC будет равна b (ширине прямоугольника). Подставляя данные значения, мы получаем: \[ S_{RCBA} = \frac{1}{2} \times \frac{a}{2} \times b = \frac{ab}{4}. \]
Вероятность события: Вероятность того, что случайно выбранная точка внутри прямоугольника ABCD принадлежит фигуре RCBA, рассчитывается как отношение площадей: \[ P = \frac{S_{RCBA}}{S_{ABCD}} = \frac{\frac{ab}{4}}{ab} = \frac{1}{4}. \]
Таким образом, вероятность того, что случайно выбранная точка принадлежит фигуре RCBA, равна \(\frac{1}{4}\) или 25%.
