Отношение радиусов Земли и Луны З Л 𝑅 З 𝑅 Л = 3 , 7 R Л R З =3,7, отношение их масс З Л 𝑀 З 𝑀 Л = 81 M Л M З =81. Определи первую космическую скорость спутника Луны, зная, что…

Для определения первой космической скорости спутника Луны, можно воспользоваться теми же законами, что и для Земли. Первая космическая скорость (v) для любого небесного тела вычисляется по формуле:

\[ v_1 = \sqrt{\frac{GM}{R}} \]

где:

• \( G \) — гравитационная постоянная,
• \( M \) — масса тела,
• \( R \) — радиус тела.

Даны соотношения радиусов и масс Земли и Луны:

1. Отношение радиусов: \[ \frac{R_Z}{R_L} = 3.7 \] Это означает, что радиус Земли в 3.7 раза больше радиуса Луны.

2. Отношение масс: \[ \frac{M_Z}{M_L} = 81 \] Это говорит о том, что масса Земли в 81 раз больше массы Луны.

Теперь можно рассчитать первую космическую скорость Луны \( v_L \) через первую космическую скорость Земли \( v_Z \):

\[ v_L = \sqrt{\frac{G M_L}{R_L}} \]

Из формулы для Земли получится:

\[ v_Z = \sqrt{\frac{G M_Z}{R_Z}} \]

Теперь выразим массу Луны через массу Земли и радиус Луны через радиус Земли. Подставив соотношения в уравнение для первой космической скорости Луны, получим:

\[ v_L = \sqrt{\frac{G \left(\frac{M_Z}{81}\right)}{\left(\frac{R_Z}{3.7}\right)}} \]

Если подставить соотношения, то легче будет выразить через первую космическую скорость Земли:

Обозначим первую космическую скорость Луны как \( v_L \) и первую космическую скорость Земли как \( v_Z = 8 \text{ км/с} \):

1. Путем подстановки получаем:

\[ v_L = \sqrt{\frac{M_Z \cdot 3.7}{81 \cdot R_Z}} = \sqrt{\frac{3.7}{81}} v_Z \]

2. Применим численные значения:

\[ v_L = \sqrt{\frac{3.7}{81}} \times 8 \]

Теперь рассчитываем это значение:

\[ \frac{3.7}{81} \approx 0.045679 \]

После этого, берём корень и умножаем на 8:

\[ \sqrt{0.045679} \approx 0.2137 \]

И умножаем на 8:

\[ v_L \approx 0.2137 \times 8 \approx 1.7096 \text{ км/с} \]

Таким образом, первая космическая скорость спутника Луны составляет примерно 1.71 км/с.