Определены следующие множества: A: 55k+1000, где k -- натуральное число, k<300 B: 2n, где n -- натуральное число, n<300. Определить количество элементов множества А&B

Чтобы определить количество элементов пересечения множеств \( A \) и \( B \), сначала рассмотрим каждое множество более подробно.

1. Множество \( A \): включает в себя элементы вида \( 55k + 1000 \), где \( k \) – натуральное число и \( k < 300 \). Это означает, что \( k \) может принимать значения от 1 до 299. Таким образом, подставляя различные значения \( k \), мы получаем:

   \[ A = \{ 55 \cdot 1 + 1000, 55 \cdot 2 + 1000, \ldots, 55 \cdot 299 + 1000 \} \]

   Вычислим первый и последний элементы множества \( A \):

   • При \( k = 1 \): \( 55 \cdot 1 + 1000 = 1055 \)
   • При \( k = 299 \): \( 55 \cdot 299 + 1000 = 16545 \)

   Таким образом, элементы множества \( A \) представляют собой последовательность, начинающуюся с 1055 и заканчивающуюся на 16545 с шагом 55.

2. Множество \( B \): включает в себя элементы вида \( 2n \), где \( n \) – натуральное число и \( n < 300 \). Это означает, что \( n \) может принимать значения от 1 до 299. Элементы множества \( B \) выглядят так:

   \[ B = \{ 2 \cdot 1, 2 \cdot 2, \ldots, 2 \cdot 299 \} \]

   Вычислим первый и последний элементы множества \( B \):

   • При \( n = 1 \): \( 2 \cdot 1 = 2 \)
   • При \( n = 299 \): \( 2 \cdot 299 = 598 \)

   Таким образом, элементы множества \( B \) представляют собой все четные числа от 2 до 598.

Теперь определим количество элементов в пересечении множеств \( A \) и \( B \) (\( A \cap B \)). Для этого нужно найти такие \( k \) и \( n \), что:

\[ 55k + 1000 = 2n \]

Перепишем уравнение, чтобы из него получить \( n \):

\[ 2n = 55k + 1000 \implies n = \frac{55k + 1000}{2} \]

Так как \( n \) должно быть натуральным числом, \( 55k + 1000 \) должно быть четным. Поскольку \( 1000 \) четное, мы можем проверить, является ли \( 55k \) четным. Для четности \( 55k \) нужно, чтобы \( k \) было четным (так как 55 – нечетное). Таким образом, \( k \) должно принимать четные значения.

Четные натуральные числа \( k \) меньше 300: 2, 4, 6, ..., 298. Это арифметическая последовательность с первым элементом 2 и последним 298, где разность равна 2.

Число четных натуральных чисел можно вычислить по формуле:

\[ n = \frac{\text{последний элемент} - \text{первый элемент}}{\text{шаг}} + 1 = \frac{298 - 2}{2} + 1 = \frac{296}{2} + 1 = 148 + 1 = 149 \]

Таким образом, количество элементов в множестве \( A \cap B \) равно 149.