вычислите дискриминант квадратного уравнения и определите, сколько корней оно имеет: a) x2 - 12x + 7 = 0 б) 5х2 - 3х + 1 = 0 b) x2 - 8x + 16 = 0 № 2. решите уравнение: a) x2 + 10x…

Давайте последовательно разберём каждый из заданных вопросов.

1. Вычисление дискриминанта и определение числа корней квадратных уравнений.

Формула для нахождения дискриминанта (D) квадратного уравнения вида \( ax^2 + bx + c = 0 \) выглядит так: \[ D = b^2 - 4ac \] Число корней уравнения определяется следующим образом:

• Если \( D > 0 \), у уравнения два различных корня.
• Если \( D = 0 \), у уравнения один корень (двукратный).
• Если \( D < 0 \), у уравнения нет действительных корней.

a) \( x^2 - 12x + 7 = 0 \)

Здесь \( a = 1 \), \( b = -12 \), \( c = 7 \).

Вычисляем дискриминант: \[ D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 144 - 28 = 116 \] Так как \( D > 0 \), у уравнения два различных корня.

б) \( 5x^2 - 3x + 1 = 0 \)

Здесь \( a = 5 \), \( b = -3 \), \( c = 1 \).

Вычисляем дискриминант: \[ D = (-3)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 9 - 20 = -11 \] Так как \( D < 0 \), у уравнения нет действительных корней.

в) \( x^2 - 8x + 16 = 0 \)

Здесь \( a = 1 \), \( b = -8 \), \( c = 16 \).

Вычисляем дискриминант: \[ D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 64 - 64 = 0 \] Так как \( D = 0 \), у уравнения один двукратный корень.

2. Решение уравнений:

a) \( x^2 + 10x + 25 = 0 \)

Это уравнение можно представить в виде полного квадрата: \[ (x + 5)^2 = 0 \] Таким образом, корень: \[ x = -5 \] (двукратный корень)

б) \( x^2 + 2x - 8 = 0 \)

Вычисляем дискриминант: \[ D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 \] Находим корни: \[ x_1 = \frac{-2 + \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 + 6}{2} = 2 \] \[ x_2 = \frac{-2 - 6}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \] Корни: \( x_1 = 2 \), \( x_2 = -4 \).

в) \( 3x^2 - 7x + 18 = 0 \)

Вычисляем дискриминант: \[ D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 18 = 49 - 216 = -167 \] Так как \( D < 0 \), у уравнения нет действительных корней.

г) \( (2x - 1)(x + 3) = 4 \)

Раскрываем скобки и приводим к стандартному виду: \[ 2x^2 + 6x - 1 = 4 \] \[ 2x^2 + 6x - 5 = 0 \]

Вычисляем дискриминант: \[ D = 6^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 36 + 40 = 76 \] Находим корни: \[ x_1 = \frac{-6 + \sqrt{76}}{4} \] \[ x_2 = \frac{-6 - \sqrt{76}}{4} \]

д) \( -3x(x - 1) = 5 \)

Раскрываем скобки и переводим в стандартный вид: \[ -3x^2 + 3x - 5 = 0 \]

Умножим на -1 для получения стандартной формы: \[ 3x^2 - 3x + 5 = 0 \]

Вычисляем дискриминант: \[ D = (-3)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 9 - 60 = -51 \] Так как \( D < 0 \), у уравнения нет действительных корней.

3. Задача с прямоугольником:

Обозначим одну сторону прямоугольника как \( x \) см, тогда другая сторона будет \( x - 4 \) см. Площадь прямоугольника равна 96 см², что можно записать как: \[ x(x - 4) = 96 \] Раскроем скобки: \[ x^2 - 4x - 96 = 0 \]

Вычисляем дискриминант: \[ D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-96) = 16 + 384 = 400 \] Находим корни: \[ x_1 = \frac{4 + \sqrt{400}}{2} = \frac{4 + 20}{2} = 12 \] \[ x_2 = \frac{4 - 20}{2} = \frac{-16}{2} = -8 \] (отрицательное значение не подходит)

Таким образом, \( x = 12 \) см. Найдём другую сторону: \[ x - 4 = 12 - 4 = 8 \] см.

Итак, стороны прямоугольника равны 12 см и 8 см.

Если у вас есть дополнительные вопросы или вы хотите уточнить какие-то моменты, не стесняйтесь спрашивать!