1. Даны точки А(-2; 4) и В(1; 8). Найдите координаты вектора АВ. 2. Найдите длину вектора MN, если M(4; -5), N(7;-9). 3. Даны векторы а{- 9; 12; и b{5; -12}. Найдите длины этих…
1. Даны точки А(-2; 4) и В(1; 8). Найдите координаты вектора АВ. 2. Найдите длину вектора MN, если M(4; -5), N(7;-9). 3. Даны векторы а{- 9; 12; и b{5; -12}. Найдите длины этих векторов. 4. Найти координаты середины отрезка Е, если Е (3;4), F (-7;6). 5. Найдите расстояние между точками А и В, т.е. длину отрезка АВ, если 4(-2; 1), B(-10; -5) 6. Найдите медиану BD треугольника АВС, вершины которого имеют координаты: 4(-2; -3), B(-3; 5), C(4; 1). 7. Докажите, что треугольник АВС равнобедренный, и найдите его площадь, если вершины треугольника имеют координаты А (-4; 1), В (-2; 4), С (1; 2).
Давайте решим все задачи по очереди:
Координаты вектора АВ: Вектор \( \mathbf{AB} \) можно найти, вычитая координаты точки A из координат точки B: \[ \mathbf{AB} = \mathbf{B} - \mathbf{A} = (1 - (-2); 8 - 4) = (1 + 2; 8 - 4) = (3; 4). \] Ответ: координаты вектора \( \mathbf{AB} \) равны \( (3; 4) \).
Длина вектора MN: Длина вектора \( \mathbf{MN} \) определяется по формуле: \[ |\mathbf{MN}| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} = \sqrt{(7 - 4)^2 + (-9 - (-5))^2} = \sqrt{(3)^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5. \] Ответ: длина вектора \( \mathbf{MN} = 5 \).
Длины векторов a и b: Для вектора \( \mathbf{a} = (-9; 12) \): \[ |\mathbf{a}| = \sqrt{(-9)^2 + (12)^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15. \] Для вектора \( \mathbf{b} = (5; -12) \): \[ |\mathbf{b}| = \sqrt{(5)^2 + (-12)^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13. \] Ответ: длина вектора \( \mathbf{a} = 15 \), длина вектора \( \mathbf{b} = 13 \).
Координаты середины отрезка EF: Координаты середины отрезка \( \mathbf{EF} \) вычисляются по формуле: \[ \text{Середина} = \left( \frac{x_E + x_F}{2}; \frac{y_E + y_F}{2} \right) = \left( \frac{3 + (-7)}{2}; \frac{4 + 6}{2} \right) = \left( \frac{-4}{2}; \frac{10}{2} \right) = (-2; 5). \] Ответ: координаты середины отрезка \( EF \) равны \( (-2; 5) \).
Расстояние между точками A и B: Используя ту же формулу для расстояния: \[ |AB| = \sqrt{(-10 - (-2))^2 + (-5 - 1)^2} = \sqrt{(-10 + 2)^2 + (-5 - 1)^2} = \sqrt{(-8)^2 + (-6)^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10. \] Ответ: расстояние между точками A и B равно \( 10 \).
Длина медианы BD треугольника ABC: Сначала найдем координаты середины отрезка AC: \[ D = \left( \frac{x_A + x_C}{2}; \frac{y_A + y_C}{2} \right) = \left( \frac{-2 + 4}{2}; \frac{-3 + 1}{2} \right) = \left( \frac{2}{2}; \frac{-2}{2} \right) = (1; -1). \] Теперь используем формулу для длины вектора \( \mathbf{BD} \): \[ |BD| = \sqrt{(1 - (-3))^2 + (-1 - 5)^2} = \sqrt{(1 + 3)^2 + (-1 - 5)^2} = \sqrt{(4)^2 + (-6)^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}. \] Ответ: длина медианы BD равна \( 2\sqrt{13} \).
Проверка равнобедренности треугольника ABC и нахождение площади: Для проверки равнобедренности найдем длины всех сторон треугольника:
- Длина AB: \[ |AB| = \sqrt{(-2 - (-4))^2 + (4 - 1)^2} = \sqrt{(2)^2 + (3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}. \]
- Длина AC: \[ |AC| = \sqrt{(4 - (-4))^2 + (1 - 1)^2} = \sqrt{(8)^2 + (0)^2} = 8. \]
- Длина BC: \[ |BC| = \sqrt{(1 - (-3))^2 + (2 - 5)^2} = \sqrt{(4)^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = 5. \] Поскольку ни одна из сторон не равна другой, треугольник не равнобедренный.
Существует формула площади треугольника через координаты его вершин: \[ S = \frac{1}{2} | x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) |, \] где \( (x_1, y_1) \), \( (x_2, y_2) \), \( (x_3, y_3) \) - координаты точек A, B, C соответственно: \[ S = \frac{1}{2} |-4(4 - 2) + (-2)(2 - 1) + 4(1 - 4)| = \frac{1}{2} |-4(2) + (-2)(1) + 4(-3)| = \frac{1}{2} |-8 - 2 - 12| = \frac{1}{2} |-22| = 11. \] Ответ: площадь треугольника ABC равна \( 11 \).
