лодка по течению реки проходит 20 км на 30 минут быстрее, чем такое же расстояние после течения реки, найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки 2 км в час.
Чтобы решить задачу, давайте сначала обозначим переменные. Пусть:
- \( v \) — собственная скорость лодки (в км/ч),
- \( v_t \) — скорость течения реки, которая равна 2 км/ч.
Скорость лодки по течению реки будет равна \( v + v_t = v + 2 \) км/ч, а против течения — \( v - v_t = v - 2 \) км/ч.
Зная, что расстояние составляет 20 км, можем рассчитать время, которое требуется лодке, чтобы пройти это расстояние:
Время по течению: \[ t_1 = \frac{20}{v + 2} \]
Время против течения: \[ t_2 = \frac{20}{v - 2} \]
По условию задачи, время, затраченное на путь по течению, на 30 минут меньше, чем время против течения. Важно перевести 30 минут в часы, что составляет \( \frac{1}{2} \) часа. Таким образом, мы можем записать уравнение:
\[ t_2 - t_1 = \frac{1}{2} \]
Подставим выражения для \( t_1 \) и \( t_2 \) в уравнение:
\[ \frac{20}{v - 2} - \frac{20}{v + 2} = \frac{1}{2} \]
Теперь, чтобы решить это уравнение, приведем его к общему знаменателю. Общий знаменатель будет \((v - 2)(v + 2)\):
\[ 20(v + 2) - 20(v - 2) = \frac{1}{2} (v - 2)(v + 2) \]
Упрощаем левую часть:
\[ 20v + 40 - 20v + 40 = 80 \]
Теперь у нас есть:
\[ 80 = \frac{1}{2} (v^2 - 4) \]
Умножаем обе стороны на 2:
\[ 160 = v^2 - 4 \]
Добавим 4 к обеим сторонам:
\[ v^2 = 164 \]
Теперь найдем \( v \):
\[ v = \sqrt{164} \approx 12.81 \, \text{км/ч} \]
Собственная скорость лодки составляет приблизительно 12.81 км/ч.
