x²+4x-32<0
Чтобы решить неравенство \(x^2 + 4x - 32 < 0\), давайте сначала найдем корни соответствующего уравнения \(x^2 + 4x - 32 = 0\).
Для этого воспользуемся формулой корней квадратного уравнения:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
где \(a = 1\), \(b = 4\), \(c = -32\).
Сначала вычислим дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-32) = 16 + 128 = 144 \]
Теперь можем найти корни уравнения:
\[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm 12}{2} \]
Это дает два значения:
- \(x_1 = \frac{-4 + 12}{2} = \frac{8}{2} = 4\)
- \(x_2 = \frac{-4 - 12}{2} = \frac{-16}{2} = -8\)
Теперь мы нашли корни уравнения: \(x_1 = 4\) и \(x_2 = -8\). Следующим шагом будет определение интервалов для неравенства \(x^2 + 4x - 32 < 0\).
Корни разбивают ось координат на три интервала:
- \( (-\infty, -8) \)
- \( (-8, 4) \)
- \( (4, +\infty) \)
Теперь проверим знак выражения в каждом интервале. Выберем тестовые точки из каждого интервала.
Для интервала \( (-\infty, -8) \), например, выберем \(x = -9\): \[ (-9)^2 + 4(-9) - 32 = 81 - 36 - 32 = 13 \quad (> 0) \]
Для интервала \( (-8, 4) \), например, выберем \(x = 0\): \[ 0^2 + 4(0) - 32 = -32 \quad (< 0) \]
Для интервала \( (4, +\infty) \), например, выберем \(x = 5\): \[ 5^2 + 4(5) - 32 = 25 + 20 - 32 = 13 \quad (> 0) \]
Теперь мы можем сделать выводы о знаках:
- В интервале \( (-\infty, -8) \) функция положительна.
- В интервале \( (-8, 4) \) функция отрицательна.
- В интервале \( (4, +\infty) \) функция положительна.
Таким образом, решение неравенства \(x^2 + 4x - 32 < 0\) - это интервал \( (-8, 4) \).
Ответ: \[ x \in (-8, 4) \]
