Написать каноничное уравнение эллипса, проходящего через точки : М1(2;0) и М2(1;2)
Чтобы написать каноничное уравнение эллипса, проходящего через заданные точки М1(2;0) и М2(1;2), начнём с общей формы уравнения эллипса. Каноничное уравнение эллипса в стандартной форме выглядит так:
\[ \frac{(x - h)^2}{a^2} + \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1, \]
где \((h, k)\) – координаты центра эллипса, \(a\) – полусемья большая ось, а \(b\) – полусемья малая ось.
- Определим центр эллипса. Поскольку он должен проходить через две заданные точки, можно взять их середину как центр эллипса. Середина между точками М1(2;0) и М2(1;2) определяется по формуле:
\[ h = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{2 + 1}{2} = \frac{3}{2}, \] \[ k = \frac{y_1 + y_2}{2} = \frac{0 + 2}{2} = 1. \]
Таким образом, центр эллипса находится в точке \(C\left(\frac{3}{2}; 1\right)\).
- Теперь определим параметры \(a\) и \(b\). Так как у нас есть только две точки, мы можем взять их расстояния от центра, чтобы вычислить \(a\) и \(b\).
Расстояния от центра до каждой точки будут:
Для точки М1(2;0): \[ d_1 = \sqrt{(2 - \frac{3}{2})^2 + (0 - 1)^2} = \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + (-1)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + 1} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}. \]
Для точки М2(1;2): \[ d_2 = \sqrt{(1 - \frac{3}{2})^2 + (2 - 1)^2} = \sqrt{\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + 1} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}. \]
Мы видим, что обе точки находятся на одинаковом расстоянии от центра, поэтому можем взять это значение за \(a\) (предполагая, что эллипс будет кругом — это частный случай эллипса). В таком случае \(a = b = \frac{\sqrt{5}}{2}\).
- Теперь подставим значения в каноничное уравнение:
\[ \frac{(x - \frac{3}{2})^2}{\left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^2} + \frac{(y - 1)^2}{\left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^2} = 1. \]
Упрощая, получаем:
\[ \frac{(x - \frac{3}{2})^2}{\frac{5}{4}} + \frac{(y - 1)^2}{\frac{5}{4}} = 1. \]
К multiplying by 4, получаем окончательное уравнение:
\[ \frac{4(x - \frac{3}{2})^2}{5} + \frac{4(y - 1)^2}{5} = 1. \]
Или в более аккуратной форме:
\[ \frac{(x - \frac{3}{2})^2}{\frac{5}{4}} + \frac{(y - 1)^2}{\frac{5}{4}} = 1. \]
Это и есть каноничное уравнение эллипса, проходящего через указанные точки!
